Spivakの微積分：第3章問題24b
24b） $f$ すべての数がそのような関数です $b$ 書くことができます $b = f(a)$ 実数の場合 $a$。機能があることを証明する$g$ そのような $f \circ g = I$
私はこの質問とそれを解決する方法を理解していると思いますが、特に数学的に厳密な方法で自分の解決策を表現する方法を見つけるのに苦労しています $f$単射ではありません。これが私の考えです：
まず第一に、 $f$ 単射であるなら、それは些細なことです。
しましょう $g(x) = a$、 どこ $x = f(a)$ のために $a \in \text{domain}(f)$
以来 $f$ 単射であり、定義上、の値は1つだけです。 $a$ 満足する $x = f(a)$ それぞれについて $x$、つまり $g$明確に定義されています。そして$\text{domain}(g) = \text{image}(f)$ （の定義による $g$）、これは質問の仮定から $\mathbb{R}$。また、$\text{domain}(f) = \text{image}(g)$、以来 $f$ そして $g$単射です（しかし、その事実は重要ではありません）。そう$f(g(x))$ すべてのために定義されています $x ∈ \mathbb{R}$。最終的に、$f(g(x))$ = $f(a)$、 どこ $x = f(a)$ にとって $x ∈ \mathbb{R} \to f(g(x)) = I(x)$。
しかし今なら $f$単射ではなく、より複雑になります。元の定義を維持する場合$g$、 であること "$g(x) = a$、 どこ $x = f(a)$ のために $a \in \text{domain}(f)$"、それではうまくいきません。 $g$はもはや機能ではありません。なぜなら$f$ 単射ではなく、少なくとも2つの数字が存在します $z$ そして $w$ そのような $z \neq w$ だが $f(z) = f(w)$、つまり存在する $x$ そのような： $g(x) = z = w$。
アイデアは単に再定義することだと思います $g$ どちらかを単に「選択」する $z$ または $w$、に割り当てます $x$。たとえば、2つのうち小さい方を選択できます。これがもたらす唯一の違いは今です$\text{domain}(f) \subset \text{image}(g)$、 の代わりに $\text{domain}(f) = \text{image}(g)$。しかし、その事実は以前は重要ではなかったので、質問の結論はまだ保持されています。
これが私の質問です。の定義を明示的に書き留めるにはどうすればよいですか$g$ 小さい方を「選択」します $z$ または $w$？さらに、少なくとも2つの数zとwが存在することを思い出してください。次のような任意の数が存在する可能性があります$f(z) = f(w) = f(m) = f(n)$等々。そして、それは一般的な値の任意のブランチの1つにすぎません$f$取ることができます。異なる番号のセットが存在する可能性があります$f(z_2) = f(w_2) = f(m_2)$ など、それは等しくありません $f(z)$、など。
これは非常に厄介になり始めています。どうすれば表現できますか$g$ 数学的に？
回答
あなたが気づいた誤謬は本物であり、それを見つけるためによくやった！あなたが示すように求められているのは、基本的に実数の選択公理です。集合論の他の公理から（一般版）を証明することはできないので、それは一種の賢明なように見えますが、公理です。
したがって、2つのオプションがあります。
- あなたの定義にこの問題があるという事実をざっと見て、基本的に「まあ、オプションのいずれかを選択するだけで、ここで見るのは奇妙なことではありません」と言うことができます。
- 選択公理を呼び出すことができます。それは言う（ウィキペディアの記事からまっすぐに）：インデックス付きの家族のために$(S_i)_{i\in I}$ 空でないセットの（ここで $I$ いくつかのインデックスセットです）家族がいます $(x_i)_{i\in I}$ そのような $x_i \in S_i$ すべてのための $i\in I$。Spivakの主張にたどり着く方法を理解するのはあなたに任せます。（実際、私のお気に入りの選択公理の定式化は、基本的にあなたが証明しなければならないものですが、数に限定されません。）
明示的な選択関数が存在するとします $C :\mathcal P(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R}$。
しましょう $A \subset \mathbb{R}$。定義により、$C(A) = r$ いくつかのための $r \in \mathbb{R}$。
次の場合に注意してください $A \subset \mathbb{R}$、そして明らかに： $\{~~A \setminus C(A)~~\}$ $\subset \mathbb{R}$。
次に関数を定義します $A_n : \mathcal P(\mathbb R) \to \mathcal P(\mathbb R)$ 次のように再帰的に：
$A_1(A)$ = $A$
$A_2(A)$ = $A_1(~~A_1 \setminus \{C(A_1)\}~~)$
$A_3(A)$ = $A_2(~~A_2 \setminus \{C(A_2)\}~~)$
などなど。
正式に：
$A_1(A)$ = $A$
場合 $A = \emptyset$、次に： $A_n(\emptyset) = \emptyset$
場合 $A \neq \emptyset$、次に： $A_n(A)$ = $A_{n-1}(~~A_{n-1} \setminus C(A_{n-1}~~)$ $~~~~\forall n \in \mathbb{N}, n > 1$
基本的に私がしているのは選択関数を適用することです $C$ に $A$ 特定の実数を選択するには $r_1$ に $A$、次に定義する $A_2$ セットになる{$A$ 行方不明 $r_1$}、次に適用 $C$ に $A_2$ 別の実数を選択するには $r_2$ に $A$、次に定義する $A_3$ セットになる{$A$ 行方不明（$r_1$ そして $r_2$）}などなど。
OK、別の関数を定義します $Z:A \rightarrow \mathbb{N}$ 元の選択関数を使用する $C$ と新しい $A_n$ そのように機能します：
$Z(r)= \{n, ~where ~r=C(A_n)$
この機能 $Z$とても特別です。すべての要素$r \in A$ の一意の値に対応します $Z(r)$。言い換えると、$Z$ 実数のサブセットのすべての要素を一意の自然数にマッピングすることができます $n$。
Cantorはこれについて何か言いたいことがあるように感じます...
場合 $f$ 非単射関数であり、 $f$ 次のように書くことができます $f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \} + \{(x_{1+i},f_i),(x_{2+i},f_i)\cdots \} + \{((x_{1+2i},f_{2i}),(x_{2+2i},f_{2i})\cdots \} + \cdots$ どこ $(x_{a+bi} = x_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$ そして $(f_{a+bi} = f_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$。
定義する $\hat f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \}$
定義する $A_n = \{(x_{1+ni},f_{ni}),(x_{2+ni},f_{ni}) \cdots \}$
$\therefore f= \hat f + \sum_{p=1}^Z A_p$、 どこ $Z \in \mathbb{N}$ または $Z = \infty$
現在AoCを使用しています：新しいセットを作成します $\hat A$ 順序対が1つだけ含まれています $(x_{a+ni},f_{ni})$ それぞれから $A_n$。
定義する $f_{\text{injective}} = \hat f + \hat A$
最後に定義する $g(x) = a$、 どこ $(a,x) \in f_{\text{injective}}$