SpivakCalculusのリーマン和を証明します。

Question

私はSpivak'sCalculus（2008）-279ページで証明を作成していました。以下は、私が問題を抱えている証拠の部分のスクリーンショットです。

私の質問は、ステップ1、2、および3を正しく組み合わせることです。到着したい

$$\bigg|\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx \bigg| < \epsilon \\ \Rightarrow\ -\epsilon < \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx < \epsilon$$

式2をいじると、次のような形になります。

$$ 0 \leq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \leq U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$

同じことが起こります $\int_{a}^{b}f(x) dx$。今、このアイデアを使用して、私は次のような形になります。

$$\epsilon > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq ?? $$

これが私の問題です、私はそれを確実に言うことはできません $\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq 0$。私が持っているものはそのようなことを意味することはできず、この結果として私はそれを結論付けることはできません$\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) > -\epsilon$。これで、証明のこの部分を終了できます。経験から、それは私が見逃しているマイナーな代数的なものであることがわかりますが、私は精神的に疲れていて、それを見ていないと思います。いくつかの援助があればいいのですが。

Answer 1

ヒント：乗算式$(3)$ 沿って $-1$ 方程式に追加します $(2)$ 取得するため：
$-(U(f,p) -L(f,P))\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) \leq U(f,P) - L(f,P) $
言い換えれば、私たちは持っています $-\epsilon\lt y\lt \epsilon$、wherece $|y|\lt \epsilon$

Answer 2

$(2)$ そして $(3)$ 和と積分の両方が間にあることを意味します $L(f,P)$ そして $U(f,P)$ したがって、それらの間の絶対差は、 $U(f,P)-L(f,P)$ そしてによって $(1)$ この後者の式は $\epsilon.$