すべてのセットに厳密なエンドマップがありますか?

Aug 16 2020

しましょう $X$セットになります。2つのエンドマップ$f,f':X\to X$全単射がある場合は同型です$g:X\to X$ そのような $f'=g\circ f\circ g^{-1}$。全単射$g:X\to X$ 満足 $f=g\circ f\circ g^{-1}$自己同型と呼ばれます $f$。のアイデンティティ$X$自明な自己同型です$f$。自明でない自己同型を認めない場合、エンドマップは厳密です。

すべてのセットに厳密なエンドマップがありますか?

明らかに、与えられたセットの厳密なエンドマップの存在 $X$ カーディナリティのみに依存します $|X|$$X$

私たちは主張します:

場合 $|X|\le2^{\aleph_0}$、その後 $X$ 厳格なエンドマップがあります。

証明:

しましょう $X$ せいぜいカーディナリティのセットである $2^{\aleph_0}$、そしてそれを示しましょう $X$ 厳格なエンドマップがあります $f$。私たちはそれを仮定することができます$X$ 空ではありません。

場合 $X=\{1,\ldots,n\}$$n\ge2$ 設定します $f(i)=\max\{1,i-1\}$。場合$X=\mathbb N$ 設定します $f(i)=\max\{0,i-1\}$

今仮定します $\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$。(私達は書く$|X|$ のカーディナリティのために $X$。)

しましょう $I$ の剛体エンドマップの同型クラスのセットである $\mathbb N$。私たちは主張します

(1) $|I|=2^{\aleph_0}$

(1)が次のことを意味することを示しましょう $X$厳格なエンドマップがあります。私たちは仮定することができます$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$ どこ $\bigsqcup$ 「離散的結合」を意味し、ここで $J$ カーディナリティです $|X|$ の非同型剛体エンドマップのセット $\mathbb N$、 そして、どこ $X_j=\mathbb N$ すべてのために $j\in J$。それぞれについて$j$ しましょう $f_j$ のエンドマップになる $X_j$ タイプの $j$。次に$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$ (明白な表記法)はの厳密なエンドマップです $X$

(1)を証明するだけです。

しましょう $X_0,X_1,\ldots$ の空でない有限部分集合である $\mathbb N$ そのような:

$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$

$\bullet\ X_0=\{0\}$

ために $n\ge1$ しましょう $f_n:X_n\to X_{n-1}$ 繊維が明確なカーディナリティを持っている地図になりましょう $f_0$ の唯一のエンドマップになる $X_0$、および定義 $f:\mathbb N\to\mathbb N$ 沿って $f(x)=f_n(x)$ もし $x\in X_n$

そうすれば簡単にわかります $f$ は堅く、そのようなエンドマップの連続体-多くの同型クラスがあること $\mathbb N$

回答

Pierre-YvesGaillard Aug 24 2020 at 00:19

質問はMathOverlowのYCorによって答えられました。

上記の文章のみを含むコミュニティウィキの回答を投稿したかったのですが、ソフトウェアがそれをコメントに変換しました。現在の文とYCorの回答の次の抜粋を追加した後、再試行しています。

「...存在する( $X\neq\emptyset$)上の根付きツリー構造 $X$その自己同型グループは取るに足らないものです。確かに、これを許可し、$v_0$ 頂点のルート $v$ 定義する $f(v)$ なので $v_0$ もし $v_0=v$、およびの一意の頂点として $[v_0,v]$ 距離1から $v$さもないと。次に$f\in X^X$ とそのセントラライザー $\mathrm{Sym}(X)$ 対応する根付きツリーの自己同型グループであり、 $\{\mathrm{id}_X\}$。」