数値を無限に引くことにより、ゼロが1に等しいことの「証明」

Nov 24 2020

最近、私はその「証拠」に出くわしました $0=1$。方法は次のとおりです。

しましょう $x = 1-1-1-1-1-1-1-\cdots$。以来$1-1=0$、 $x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$。ここで、$1-1-1-1-1-1-\cdots$ 両側にあり、 $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$。次に、$1-x=0-x$。そう、$1-x+x=0-x+x$。したがって、$1+0=0+0$ など $1=0$。

この証明で何が悪かったのか理解できませんでした。結果は明らかに真実ではありませんが、証明は真実のようです。それから私は何人かの人々に尋ねました、そして彼ら全員は何が悪かったのか理解できませんでした。誰かが来て、何が悪かったのかを特定するのを手伝ってくれませんか？ありがとうございました。

回答

6 zkutch Nov 24 2020 at 09:00

数学におけるいわゆる無限和は、級数として正式に定義されており、部分和の概念に基づいています。$$a_1+a_2+ \cdots =\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$$ どこ $S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ 部分和です。

さて、あなたの例に行きましょう：あなたが考えるなら $1-1-1-1-1-1-1-...$、それから私達はそれのための部分和を構築する必要があります $$\begin{array}{} S_1=1 \\ S_2=1-1=0 \\ S_3=1-1-1=-1 \\ S_4=1-1-1-1=-2 \\ S_5 =1-1-1-1-1=-3 \\ \cdots \\ S_n=2-n \\ \cdots \end{array}$$ ご覧のとおり、部分和には有限の制限がありません。つまり、その式は $1-1-1-1-1-1-1-...$ は有限数ではないため、そのまま使用することはできません。

そのような「証明」の面白い例は、表現を考えれば得られます $1-1+1-1+1-1+1-...$ 収束を調査しないでください。 $$0=(1-1)+(1-1)+\cdots= 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1$$

5 JTHsieh Nov 24 2020 at 09:05

無限級数を書き出すときは、最初に収束するかどうかを確認する必要があります。そうでない場合、ブラケットなどの通常の手順は機能しなくなります。

たとえば、これはすべての整数がであるという同様の（偽の）証明です $0$：しましょう $x = 1 + 1 + 1 + \cdots $。任意の整数の場合$n > 0$、最初の括弧 $n$ そのように用語 $x = (1+1+\cdots+1) + 1 + 1 + 1+ \cdots = n + x$。したがって、$n=0$。

2 RobertAndrzejuk Nov 24 2020 at 17:55

しましょう $x=1−1−1−1−1−1−1-\cdots.$

以来 $1−1=0$

$x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$。

ここで、 $1-1-1-1-1-1-\cdots$ 両側にあり、

--> $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$。 <--

これがエラーです。角かっこの前にマイナスがあると、中のすべてが無効になります。

したがって、実際には次のようになります。

$$x = 0 - (1 + 1 + \cdots)$$

そして、私はそれを消すのは有効な数学演算ではないと思います $\infty$ 両側に、 $\infty$ は非常に多数のプレースホルダーにすぎません（具体的な多数ではないため、 $\infty_{left} \ne \infty_{right}$）。