既約多項式の歴史とその動機
私は既約多項式の歴史とそれらが導入された理由について考えてきました。私が見つかりました。彼らのために多項式の起源と表記は何ですか？、しかしそれは一般的に多項式についてです。
既約多項式を導入して研究するための歴史的な動機について誰か説明してもらえますか？そのための参考資料を入手したいと思います。
回答
多項式の解法と多項式の因数分解の先史時代はスキップします。数と多項式の長い除算の類似性は、中世のイスラム数学者アル・サマワールにまでさかのぼります。誰が短い除算と長い除算を発明したのかを参照してください。、および多項式のユークリッドアルゴリズムは、デカルトの若い現代人であるHuddeによって最適化されました。鈴木、The LostCalculusを参照してください。
既約元の歴史は、ガウスのDisquisitiones Arithmeticae（1801）の円分多項式から始まります。彼の動機は、正多角形を直定規とコンパスで円に刻むことに関連しており、謎めいた発言は、レムニスケートへの一般化を示していました。初期の理論は、「より高い合同」、素数とその累乗を法とする多項式の文脈で開発されました。コックスのアイゼンシュタインがアイゼンシュタインの基準を証明した理由とディクソンの数論の歴史、ch。 VIII。 KummerとDedekindによる一般的な数の指輪の研究は同じ情報源から来ました。
ガウスは、素数指数を持つ円分多項式が既約であることを証明しました（彼はそのような用語を使用しませんでした）。その過程で、彼は還元不可能性に関する最初の一般的な結果であるガウスの補題を証明しました。さらに関連性が高かったのは、Disquisitiones Arithmeticaeの未発表のセクション8で、「Disquisitiones generales de congruentiis」というタイトルで、ガウスは「多項式合同」を法として研究しました。$p$、すなわちの多項式 $\mathbb{F}_p[x]$現代の用語では、Frei、The Unpublished SectionEightを参照してください。彼は、次の既約多項式の数を数えました。$\mathbb{F}_p[x]$、そしてその過程でヘンゼルの補題のケースを証明しました。しかし、これらすべては、デデキンドが1863年にセクション8（1876年にフルバージョン）を公開した後にのみ利用可能になり、その間に他の人、特にシェーネマンとデデキンド自身によって再発見されました。
しかし、公開された部分でさえ、アベルとガロアにとって十分なインスピレーションでした。アーベルの既約性の定理は、そのように定式化されていませんが、彼のMémoiresuruneclasseparticulièred'équationsrésolvatesalgébriquement（1829）に登場しました。アベルは、ガウスの発言によると、円を等しい部分に細分化するというガウスの結果のレムニスケートへの彼の以前の拡張によってそれに導かれました。ガロアノートでシュール・ラ・theorieデnombres（1830年、それは英語の翻訳が表示されますエヴァリスト・ガロアの数学的書物）私たちは、 『用語を参照してくださいirréductibleそれは合同ではなく、多項式に適用されるが、』、および有限体の関連工事。
しかし、シェーンマンは2部構成の論文Grundzuge einer allgemeinen Theorie der hohern Congruenzen（1845）とVon denjenigen Moduln、welche Potenzen von Primzahlen sind（1846）で、ガウスとガロアの両方の結果を独自に再発見し、さらに進んだ。特に、彼は多項式に「既約」適用、および一般的な問題を述べている：」既約多項式を法の力かどうか、調べるために$p$ 既約モジュロであるかどうか $p^m$"、彼は現在「アイゼンシュタインの基準」と呼ばれている還元不可能性のバージョンを使用して解決します（主にファンデルヴェルデンの見落としによる）。アイゼンシュタインは、レムニスケートの細分化に関するアーベルの定理を反証するときに基準を再発見し、手紙でアイデアを共有しました1847年にガウスに送られましたが、公開されたバージョンはUber die Irreductibilitat und einige andere Eigenschaften der Gleichung（1850）にのみ登場しました。その時点から、マシュー、セレット、デデキンド、クローネッカー、ジョーダン、ウェーバー、等
Dedekindの手によって、彼のAbrißeinerTheorie der hoheren Kongruenzen in bezug auf einenリールレンPrimzahl-Modulus（1857）の後、物語はより抽象的な方向に進み、現代の環論につながりました。その後、デデキンドは、環と理想を導入し、素数と既約元の統一された用語を開発することによって、ガウス、ガロア、シェーネマン、クマーの作品を統合しました。数学のどのような変化が素数の定義の変化と1の除外をもたらしたのかを参照してください。より具体的には、Kroneckerは、1882年に、有理整数多項式を既約の積に完全に因数分解するための一般的なアルゴリズムを提供しました。Dorwart、Irreducibility ofPolynomialsを参照してください。。Schönemann-Eisenstein基準は、Konigsberger（1895）、Netto（1896）Bauer and Perron（1905）によって拡張されました。Dumasは、Sur quelques cas d'irreductibilite des polynomes a factor rationnels（1906）の還元不可能性を研究するために、現在人気のあるニュートン多面体法を開発しました。BonciocatによるSchönemann -Eisenstein-Dumasタイプの還元不可能条件を参照してください。