タイプの対数を持つ方程式の解 $x\log(x) + ax + b = 0$
私は次のような対数を持つ超越方程式に遭遇しました $x\log(x) + ax + b = 0$、そして方程式の閉形式の解があるかどうか疑問に思います。
回答
閉じた形の解はないと思います。これらのような超越関数は通常はありません。特に変数を考慮する$a,b$、自由度が多すぎて、一意の方程式が多すぎます。
注:私は次のことを前提としています $\log$自然対数です。そうでない場合は、数学を簡単に変更できます。
代用できます $x=e^u$ 方程式に到達します $ue^u + ae^u + b=0$。
次のように書き直します $e^u(u+a)=-b$
掛ける $e^a$ 生産する $e^{u+a}(u+a)=-be^a$
ランベルトのW関数を利用します。 $u+a= W(-be^a)$
したがって: $$\log(x) = W(-be^a) - a$$
コメントで、あなたはランベルトWが導関数を持っていることについて尋ねました。暗黙の導関数があります:$$\frac{d W(x)}{dx} = \frac1{x + e^{W(x)}}$$
この種の方程式は、有限数の初等関数を適用して再配置することによって解くことはできません。
場合Schanuelの予想は真であると$a,b\in\overline{\mathbb{Q}}$、方程式には基本数である解がありません。
基本的な超越方程式の閉形式の可解性を参照してください。
CogitoErgoCogitoSumが彼の答えで示したように、非基本解は次のように表すことができます。
$$x=e^{W(-b{e^a})-a}=-\frac{b}{W(-be^{a})}.$$ $\ $
$$W'(x)=\frac{W(x)}{x+xW(x)}$$