対称代数のリトラクト
代数的閉体上のベクトル空間を考えると $k$ 特徴の $0$、次の正確なシーケンスがあります。
$$0\rightarrow \wedge^{2}V\rightarrow \text{T}^{2}V\rightarrow\text{S}^{2}(V)\rightarrow 0\text{,}$$ どこ $\wedge^{2}, \text{T}^{2}$ そして $\text{S}^{2}$外積代数（またはテンソルと対称代数）の2次成分を示します。実際、リトラクトを明示的に定義できます$$\text{S}^{2}(V)\rightarrow\text{T}^{2}(V)$$ これはただ： $$v_{1}\cdot v_{2}\mapsto \frac{1}{2!}\sum_{\sigma\in S_{2}}v_{\sigma(1)}\otimes v_{\sigma_{2}}\text{.}$$ 私の質問は次のとおりです。マップのカーネルを明示的に説明できますか $$\text{T}^{n}(V)\rightarrow\text{S}^{n}(V)$$従来通り？一般的なケースのリトラクトを定義するのは簡単です。交換するだけです。$2$ 沿って $n$、しかし、カーネルをどのように説明しますか？ケースで何が起こるか$n=3$ そして $n=4$ （これが最も簡単なはずです）？
お時間をいただきありがとうございます。
回答
（以下が必要です $k$ 標数ゼロを持つこと。標数よりも大きい標数に弱めることができるかもしれません $n$、しかし代数的閉体である必要はありません。）
それはあなたが「明示的に」何を意味するかによります。抽象的にシューアワイル双対性はテンソル力を意味します$V^{\otimes n}$ の通勤行動の下で、別れます $GL(V)$ そして $S_n$、シューア関数の直和に
$$V^{\otimes n} \cong \bigoplus_{\lambda \vdash n} S^{\lambda}(V) \boxtimes M^{\lambda}$$
のパーティションに対応 $n$。これは正確には、の既約表現への分解です。$GL(V)$、およびいつ $n \ge 3$ 対称的で外部的な力だけでなく、厳密にそれらの多くがあります。
たとえば、 $n = 3$ の3つの既約表現に対応すると考えることができる3つのシューア関数があります。 $S_3$：
- 対称立方体 $S^3(V)$、の自明表現に対応 $S_3$、
- エクステリアキューブ $\wedge^3(V)$、の符号表現に対応 $S_3$、および
- シューア関数 $S^{(2, 1)}(V)$、私が知っている名前を持っていない、重要なことに対応する $2$-の次元既約表現 $S_3$。
したがって、対称化マップのカーネル $V^{\otimes 3} \to S^3(V)$ として同型です $GL(V)$-表現、へ $\wedge^3(V) \oplus 2 S^{(2, 1)}(V)$。
私が「対応する」とは、次のことを意味します。場合$M^{\lambda}$のSpechtモジュール（既約表現）です$S_n$ によってラベル付け $\lambda$、その後 $S^{\lambda}(V)$ として構築されます $V^{\otimes n} \otimes_{S_n} M^{\lambda}$。の等型成分$S^{\lambda}(V)$ に $V^{\otimes n}$ べき等のイメージとして分離できます
$$\frac{\dim M^{\lambda}}{n!} \sum_{\pi \in S_n} \chi_{\lambda}(\pi^{-1}) \pi$$
（どこ $\chi_{\lambda}$ Spechtモジュールのキャラクターです $M^{\lambda}$）、これは、予想どおり、自明表現に適用するとおなじみの対称化べき等を再現し、符号表現に適用するとおなじみの非対称化べき等を再現します。したがって、これはすべて、の指標表を書き留めることができるのと同じくらい明示的に行うことができます。$S_n$。