多項式環のジャコブソン根

Question

定義：みよう$M$ 豆 $R$モジュール。その後、ジャコブソン根$M$ で示されます $J_R(M)$ のすべての最大サブモジュールの共通部分として定義されます $M$。場合$M$ 最大のサブモジュールがない場合 $J_R(M)=M$。

しましょう $R$ 可換環になり、 $S=R[x]$多項式環になります。ジャコブソン根の$S$ です $Nil(R)[x]$ いつ $S$ として取られます $S$モジュール。すなわち$J_S(S)=Nil(R)[x]$。

私の質問：ジャコブソン根の$S$ いつ $S$ として取られます $R$モジュール？すなわち$J_R(S)=?$

私を助けてください。私はあなたに非常に感謝します。

Answer 1

最初に注意してください $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ なので $R$-モジュール。さらに、ジャコブソン根は直和を保持するため、$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ これは、係数が次の多項式のサブモジュールです。 $J_R(R)$。

---

ジャコブソン根がモジュールの直和で通勤することを証明するために、最初に $R$-モジュール準同型 $\varphi:M\to N$ マップ $J_R(M)$ に $J_R(N)$。これを正規の予測に適用する$\bigoplus_iM_i\to M_i$ 与える $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$。同様に、正規の包含を考慮することによって$M_i\to\bigoplus_iM_i$ 逆包含を取得します $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$。