定義を知っているにもかかわらず、意味論的結果を使用してステートメントを理解するのに問題がある
私は、右側が真である場合、左側のすべてのステートメントがすべて真である（充足可能である）可能性があることを意味する意味論的結果を知っています。右側が偽の場合、左側のステートメントがすべて真になるわけではありません。
私に問題を与えるいくつかのステートメントがあります。
最初： $$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ iffの左側から始めると、ステートメントはすべて意味があります。
問題は、私がiffの右側から始めて $\Gamma$ 本当です、 $\phi$ は偽であり、 $\psi$本当です。それは正当な声明ですが、それは声明全体が間違っていることを証明しています。
二番目： $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$左側が偽であるにもかかわらず、真である可能性があります。これは不可能だと思いました。
第3：
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
場合 $\Delta$ 満足できないと $\phi$ が真の場合、if部分が真で、then部分が間違っています。
この問題に遭遇し続けると、確かに私は何かを誤解しています。
回答
私は、右側が真である場合、左側のすべてのステートメントがすべて真である（充足可能である）可能性があることを意味する意味論的結果を知っています。
いいえ、それはそれが意味することではありません。まったく逆です。左側のすべてのステートメントが真の場合、右側は真です。つまり、意味論的結果の定義は、任意の解釈の下で、RHSが真であるか、LHSの少なくとも1つのステートメントが偽であるということです。RHSが真である場合、LHSが真である必要はありません。
おそらく、ネガティブからそれを見る方が簡単です。発生してはならない唯一のことは、LHSのすべてのステートメントが真であるが、RHSはシミュレートして偽であるということです。ある解釈の下で、RHSが真であるが、LHSが真でない場合、それは問題ありません。これは特に、LHSがシミュレートして真になることができない場合（=が満たされない場合）、そのような逆の解釈はあり得ず、結果は空虚に成り立つことを意味します。
（最後の段落の（不）充足可能性に関する注記も参照してください。ここでの使用法は、それが何を意味するのかについての誤解を示唆しています。）
$$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ iffの左側から始めると、ステートメントはすべて意味があります。
問題は、私がiffの右側から始めて $\Gamma$ 本当です、 $\phi$ は偽であり、 $\psi$本当です。それは正当な声明ですが、それは声明全体が間違っていることを証明しています。
ステートメントの構造を読み間違えています。あなたは真理値の1つの具体的な割り当てを見て、その1つの解釈から、左右の意味論的結果が成り立つかどうかを理解しようとしています。しかし、それはそれが言っていることではありません：ステートメントはに翻訳されます
[すべての解釈の下で、ステートメントのいずれか $\Gamma, \phi$ 偽または $\psi$真]
iff
[すべての解釈の下で、次のいずれかのステートメント$\Gamma$ 偽または $\phi \to \psi$ 本当です]。
つまり、最初にすべての解釈を調べて意味的な結果が成り立つかどうかを判断し、次に「if andonlyif」を評価する必要があります。たった1つのケースを見て$\Gamma$ 本当です、 $\phi$ 偽と $\psi$ trueでは、「iff」のいずれかの側が成り立つかどうかについて結論を出すことはできません。
二番目： $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$左側が偽であるにもかかわらず、真である可能性があります。これは不可能だと思いました。
上記を参照してください：それは逆です。LHSが真であるにもかかわらず、RHSが偽になることが不可能であることが必要なだけです。そして、そもそもLHSがいかなる解釈の下でも真になることができない場合、これは決して当てはまりません。$\bot$、したがって、結果は空虚に保持されます。
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
場合 $\Delta$ 満足できないと $\phi$ が真の場合、if部分が真で、then部分が間違っています。
「もしも $\Delta$ は満足できない」：そうすると、どちらのLHSも真になることはないので、両方の結果が空虚に成り立ち、「ifthen」が満たされます。
そして、用語を明確にするために： "$\Delta$ 「充足可能/不充足可能」とは、いかなる解釈の下でも、そのすべてのステートメントが同時に真になる可能性/不可能であることを意味します。 $\Delta$矛盾/矛盾ではありません。ある特定の解釈の下で、すべてのステートメントが$\Delta$ 本当なら、私たちはそれを言わない $\Delta$充足可能/充足不可能ですが、真/偽です。同じことが単一の数式にも当てはまります。$\phi$ 特定の解釈では真/偽であり、それが真である解釈が少なくとも1つある/ない場合は充足可能/不充足です。
のモデル $\Gamma$ その中で $\phi$ 偽であるは、ステートメントについて何も言いません $\{\Gamma,\phi\}\vDash\psi$：その声明はただそれを言っています$\psi$ のすべてのモデルに当てはまります $\Gamma$ そして $\phi$、これは確かに $\phi\to\psi$ のすべてのモデルに当てはまります $\Gamma$。