定理Cramer-Wold。

Question

定理（Cramer-Woldデバイス）：ランダムの分布 $n$-ベクター $X$ 線形結合のすべての1次元分布のセットによって完全に決定されます $t^TX$、 どこ $t$ すべての固定範囲 $n$-ベクトル。$$$$証明。$ Y：= t ^ TX $には特性関数があります：$$ \ phi_Y（s）：= E [e ^ {isY}] = E [e ^ {ist ^ TX}] $$各$の分布がわかっている場合Y $、CF $ \ phi_Y（s）$がわかっています。特に、$ s = 1 $を取ると、$ E [e ^ {ist ^ TX}] $がわかります。しかし、これは$ t =（t_1、\ ldots、t_n）^ T $で評価された$ X =（X_1、\ ldots、X_n）^ T $のCFです。しかし、これは$ X. $の分布を決定します

私の質問：

1. もし$ S = 1 $は、その後の証拠失う一般のでしょうか？何故なの？
2. 証明の私の解釈は、ベクトルとベクトルの線形結合が同じ特性関数を持っている場合、それらの分布は同じであるということです。この解釈は正しいですか？3）定理で「完全に決定された」とはどういう意味ですか？

Answer 1

• 最初の質問で「一般性を失う」とはどういう意味かわかりません。私が重要であると思われる証明の唯一の「一般性」は、それが$\ n$-ベクトルおよび任意の $\ n\ $、それはします。パッティング$\ s=1\ $ 証明の1つのステップにすぎません。これは、の値に関係なく、合法的に実行できるステップです。 $\ n\ $ そして $\ X\ $ ですので、それらに制限を課すことはありません。

• ベクトルは、そのエントリの線形結合と同じものではありません（ベクトルを除いて、 $\ X\ $ です $1$-次元と線形結合は $\ 1\cdot X\ $）、これはスカラーでなければなりません。したがって、ランダムベクトルの分布関数も特性関数も、そのランダムベクトルのエントリの線形結合のものと同じにすることはできません。ランダムの分布$\ n$-ベクトルとその特性関数は次の関数になります $\ n\ $一方、ランダムベクトルのエントリの特定の線形結合の分布と特性関数の両方は、単一の変数の関数になります。

  Cramer-Woldデバイスの重要なポイントは、ランダムベクトルのエントリの特定の線形結合だけでなく、そのようなすべての線形結合の1次元分布を知る必要があることです。これにより、ランダムを推定できます。単一変数の関数の無限のファミリーからの、多くの変数の関数であるベクトルの分布。