とは $a$ Tayorシリーズでは?

Aug 22 2020

ですから、私は最初の(オンラインの)大学の学期に先立って、自分で微積分IIを学ぼうとしています。私は現在、ポールの数学ノートを通してテイラーとべき級数を研究しています。

著者がうまく概説しているように、べき級数の係数を取得する方法は理解していますが、変数が何であるかについて混乱しています。$a$'は以下を表します:

です」$a$'に近い値$x$'?もしそうなら、なぜですか?

具体的には、 $f(x)$ 上記はテイラー級数です $f(x)$$x = a$。誰かがこれが何を意味するのか説明できますか?

後で彼らはa = 0とx = 0についてテイラー級数としてマクラウリン級数を導入しようとするので、これを知ることは役に立ちます。

どんな指導も大歓迎です!

回答

2 Riemann'sPointyNose Aug 22 2020 at 08:29

関数を拡張するテイラー級数のアイデアは、いくつかのポイントを取ることです $a$その時点で関数に関する情報を取得します。その情報には、その時点での関数の値、およびその特定の時点で関数がどのように「変化」しているかが含まれます(これがデリバティブが関係する理由です)。次に、この情報を使用して、(無限の可能性がある)多項式を介して関数を「複製」します。

最終的には、 $a$あなたが取りたいですか。場合${a=0}$ -その時点で機能に関する情報を取得しています ${x=0}$

ご了承ください "$a$ に近いポイントであること $x$「この文脈では意味がありません。なぜなら $a$定数の静的変数になります。私が言いたいのは、あなたがの値を選ぶということです$a$ 最初に、次に興味のある多項式を取得します-そして$x$はただの自由変数です。たとえば、いくつかの機能を拡張したい場合${f(x)}$${x=5}$、私は書くだろう

$${f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(5)(x-5)^n}{n!}}$$

計算したい場合 ${f(20)}$、あなたは得る

$${f(20)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(5)(20-5)^n}{n!}}$$

私はまた、例えば、周りに拡大することができます ${a=3}$ そして取得:

$${f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)(x-3)^n}{n!}}$$

したがって、

$${f(20)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)(20-3)^n}{n!}}$$

(とにかく、いくつかの条件を提供しました)。