特異値に拘束される
しましょう $M \in \mathbb{R}^{d\times d}$反対称行列である。2つの量に関連する下限/上限または平等はありますか$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$ 右側は、の最小特異値の2乗です。 $A$。また、注意してください$u^* A u$ 純粋な虚数でなければなりませんが $u^* A^T A u$ 本物でなければなりません。
確かに、スティーブンによる以下のコメントは、左側がゼロであることを示しています。一般的な行列はどうですか$A$、必ずしも反対称ではありませんか?
回答
コーシー・シャルツの不等式を指摘してくれたスティーブンに感謝します。 $$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$ 法線ベクトルの場合 $u$ と実数行列 $A$、したがって $$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$ 実数行列の場合 $A$。反対称の場合、左側はゼロです。$A$。