トポロジー公理と測度論公理の統一がなかったのはなぜですか？
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最初の位相空間と測度空間の公理は非常に似ているように見えます。それらは、結合と交差の閉鎖公理が異なります。メトリックとメジャーの間の不思議な類似性は、なぜこれらの公理が別々に定義されているのか疑問に思います。測度と測度空間の概念だけで理論を発展させることはできなかったのでしょうか。
私が見ている1つの問題は、循環論理を作成する可能性があるということです。測度論の概念を開発するために位相空間公理が必要な場合、それが2つの概念を分離する必要がある理由です。任意の和集合と可算和集合、および有限交叉と可算和集合の閉鎖は、2つの概念の唯一の違いとして私が見たいものではありません。少なくとも最初から、非常に類似した概念であるのに、なぜ2つの別々のシステムがあるのでしょうか。
回答
トポロジと $\sigma$-代数は、さまざまな目的を念頭に置いて設計されています。 $\sigma$-代数は、一般化された種類のボリューム測定マップであるメジャーとうまく連携するように設計されています。トポロジは、「近さ」の概念をキャプチャするように設計されています。$x$ セットに近い $S$？すべてのオープンな近所の場合$x$ 交差する $S$。シーケンスが任意に近づくのはいつですか$x$？すべてのオープンな近所の場合$x$シーケンス内のポイントが含まれます。そのようなもの。したがって、最初にトポロジと$\sigma$-代数は異なります。
だが！もう少し考えてみると、直感的には、ある点の開いた近傍は、一定の体積を持つ近傍であることがわかります。まるでオープンボールを置いたら$x$、ボリュームがゼロ以外であることがわかります。そして$\sigma$-代数は、体積測定を可能にするように設計されています。したがって、すべてのオープンセットを何らかの方法で作成するべきではありません$\sigma$-代数？結局のところ、そのようなセットにボリュームを割り当てると便利な場合があります。そして答えはイエスです、それは理にかなっています。開集合にボリュームを割り当てることができれば、とても嬉しいです。たとえば、これにより、連続関数はオープンセットでうまく機能するため、連続関数でボリュームをうまく再生できます。そしてそれが私たちがボレルを定義する理由です$\sigma$-代数：位相空間を与えられた$(X,\tau)$、ボレルを定義します $\sigma$-代数 $X$ なので $\mathcal B(X):=\sigma(\tau)$、それは最小です $\sigma$-のすべてのオープンサブセットを含む代数 $X$、ボリュームを持つ必要があるすべてのサブセット。今$(X,\mathcal B(X))$ 測度を定義できる測定可能な空間です $\mu$気が向いたら、開いている各セットにボリュームを割り当てます。このアプローチは、たとえば、ルベーグ測度を定義するためによく使用されます。私たちはそれぞれのオープンセットを取ります$\mathbb R^n$直感的に必要なボリュームを割り当てます。次に、これらを結合して交差させることで得られる可能性のある他のすべてのセットを取得し、メジャーの定義に沿ったボリュームを割り当てます。（より測定可能なセットを生成する外測度を使用する「より良い」アプローチがありますが、これはより単純です。）
しかし、ボレル $\sigma$-代数は1つの特定のものです $\sigma$-私たちが望むかもしれない代数。他のアプリケーションの場合、特に基になるセットの親密さを実際に気にしない場合は、別のアプリケーションの方がうまくいく可能性があります。次に、トポロジは必要ないので、なぜ制限するのですか？$\sigma$-トポロジーを持つ代数？