通常、同値類として記述されるものを表示するためのより自然な方法
グラフは通常、その上の関係を含むセットとして定義されます。しかし、具体的な「グラフ」、たとえば3つの頂点の完全な「グラフ」について考えるとき、私はそのような用語では考えません。三角形が表示され、頂点の名前がありません。私には見分けがつかない。頂点にラベルを付けるには、情報を追加する必要があります。そのようなオブジェクトを正式に研究したい場合、通常、同型写像の下にある頂点のセット上のグラフの同値類としてそれらを定義します。しかし、頂点のセットをグラフのサイズまでの自然数に制限したとしても、この構造は驚くほど「大きな」オブジェクト、つまり多くの複雑な要素を含むセットを生成します。
ネックレスやリンドンワードの場合のように、同値類から特別なオブジェクトを選ぶことができます-グラフ同型クラスに対してこれを行う標準的な方法はわかりませんが、グラフのテキスト表現を定義することはできます。 10進数で指定されたエッジで接続された頂点のペアのリスト。また、あるクラスの要素を与える辞書式に最小の表現を取ります。最終的に、これらのクラスと自然数の間の全単射を定義し、クラスとして見られたものは実際には単なる自然数であると言うことができます（このアプローチは、より大きなセットで全単射することによって無限のグラフに一般化されます）。しかし、これらの方法は「問題の核心に迫る」ようには見えません。おそらく問題は、これらの方法で表されたグラフを使用して計算で「何かを行う」、たとえばエッジを追加する、またはたとえばマイナーを定義するために、基本的に最初にそれらを他の形式に変換する必要があることです。また、特別なオブジェクトの選択は、少なくともここでグラフについて述べたものは、かなり恣意的に感じます。
これについて考えると、少なくとも集合論では、これらの問題がない特別な種類のオブジェクトがあることに気付きました。各ノードの子がすべて一意であるルートツリーです。これらのオブジェクトは文字通り集合として表すことができますが、「集合論ですが、各集合は赤または青の2つのバージョンで他の集合から作成できます」など、異なる形式システムでは、より複雑にする必要があると想像できます。より多くの種類のオブジェクトをこんなに簡単に表現できるシステムがあるのではないでしょうか。
もちろん、重要なのは、必要な概念の「実装」があることだけだと言えます。結局のところ、数学者は醜いソースコードを気にしないことはよく知られています;）。おそらくそれは人生で最も重要なことではありませんが、私が選択をした場合は、すべてが素晴らしく、ずっときれいであることが望ましいです。あるいは、私の直感全体が間違っていて、たとえばグラフ同型クラスは実際にはグラフの二次的な概念ですか？
編集：集合ではない少なくとも1つのタイプのオブジェクトについては、集合論で優れた表現を見つけることができます。アルファベットの順列までの単語はパーティションにすることができます。他にありますか？
回答
私はあなたの質問の問題を正しく理解したかどうかわからないので、私の答えはそれに弱く関連している可能性があります。しかし、私はそれがあなたのために役立つことを願っています。
同型オブジェクトの同値類のビジョンについて言うとき、私たちは構造を意味すると思います。これは、数学の基本概念と見なすことができます。これは、特定のプロパティを満たすセット（および場合によってはそのサブセットのファミリーなど）上の関係のファミリーです。ニコラ・ブルバキは論文[Bou]で、この概念に基づいて数学的対象の世界を体系化するプログラムを提案しました。組織化の原則は、単純なものから複雑なもの、一般的なものから特定のものまで、構造の階層です。この方向は、数学の歴史的発展に逆行しています。数学的対象、アイデアは当初、私たちの人生経験の対象、たとえば10本の棒や丸い皿の特性だったと思います。その後、これらのプロパティはオブジェクトから抽象化され、理想化され（たとえば、数10またはディスクの概念）、次に一般化されました（たとえば、自然数の概念に）[エール]。
働く数学者として、私は通常、具体的なモデルを扱います。ブルバキは、「数学者は機械のように働くことも、動くベルトの作業員として働くこともありません。彼の研究において、一般的な感覚の直観ではなく、彼が持っていると思われる通常の行動の一種の直接占い（すべての推論の前に）である特別な直観によって果たされた基本的な役割を強調しすぎることはできません長い知識が彼を現実世界の存在と同じくらいよく知っている数学的な存在を期待する権利」。【ぼう】
しかし、直感を検証する必要がある場合は、同値類やその他の形式的なものを扱う引数などの手品を使用する必要があります。それらは面倒で不自然な場合があります（たとえば、私が覚えているように、の概念の完全な表現$1$、ブルバキによって与えられた、数千のシンボルが必要です）。しかし、これは厳格さの代償です。
参考文献
[エール]アレクサンドル・アレクサンドロフ、数学の一般的なビジョン、「数学：その内容、方法、および意味」、vol。1、eds。：AD Aleksandrov、AN Kolmogorov、MA Lavrent'ev、Publ。ソビエト連邦科学アカデミー、モスクワ、1956年、ロシア語（ "Общийвзгляднаматематику"）、5–79。
[Bou]ニコラ・ブルバキ、L'Architecture des mathematiques、「Les grands courantsdelapenséemathematique」、F。LaLionnais（Cahiers du Sud、1948、35–47）。公認の英語翻訳。ロシア語翻訳。
これについての私の考えを以下に追加しますが、これは多かれ少なかれ@ antkam-sのコメントの詳細にすぎません。
集合論を基礎として数学で働くことの多く（しかし確かにすべてではない）は、次のフレームワークに当てはまることができます：
- あなたが理解したい現実の世界のいくつかの現象を見つけてください。
- 自然な方法でセットを使用してモデル化します。
- 不要な詳細を除外します。
たとえば、カーディナリティの概念を理解したい場合は、セットをオブジェクトとして取り、全単射によって変更します。ネットワークの側面といくつかのタイプの相互作用を理解するために、グラフを取り出し、グラフ同型によって変更します。対称性$\rightarrow$ グループ $\rightarrow$ 群同型、空間 $\rightarrow$ 位相空間 $\rightarrow$ 同相写像、そしてリストは続く。
さて、あなたが言うように、しばしば「フィルタリング」ステップは多くの複雑さをもたらすようです。異なるモデルを使用するか、集合論とはまったく異なる基礎の上に理論を構築することによって、これを修正することを考えるかもしれません。
しかし、ここに問題があります。複雑さは、フィルタリングステップに固有のものではなく、モデル化しようとしている現象に固有のものです。ネットワークは複雑で、対称性は複雑で、空間は複雑です。複雑さが形式化のプロセスの別の部分にあるように物事を変更することはできますが、（通常は）それを回避することはできません。1
この過酷な2つの現実を考えると、最初の表現（および基本的な理論）を単純に保ち、フィルタリングステップの背後にある複雑さを隠すのには十分な理由があります。基礎は、あらゆる種類のものをモデル化するために使用するため、合理的に表現可能で使いやすいものでなければなりません。集合論は、これらの点で非常に成功しているようです（ただし、基礎に関する現在の考えについてはよくわかりません。私の言葉を受け取らないでください）。初期表現を単純に保つことは、オブジェクトの正式な操作（エッジの追加など）に非常に役立ち、さまざまなオブジェクトや数学の領域を簡単に接続できるようにします。少しばかげた例ですが、フォームのセットのカーディナリティのみを定義した場合$\{1,\dots,n\}$、その場合、カーディナリティの概念は、適用されるケースが少ないという理由だけで、数学の他のすべての領域ではあまり役に立ちません。同様に、グループとグラフの同型クラスのみを扱った場合、ケイリーグラフの定義はおそらく非常に困難になります。
したがって、要約すると、数学者は「醜いソースコード」に関心を持っています。しかし、問題が十分に複雑な場合、常に何らかの「醜さ」が関係しているように思われます。問題は、それがどこに現れるかです。そして最終的には、ソースコードと同様に、美しさ自体は使いやすさやモジュール性よりも重要ではありません。
1悪魔が細部にあることについて、ここに隠されたジョークがいくつかありますが、私はそれを見つけることができません
。2もちろん、これは実際には「厳しい」現実ではありません。私たちが研究することが複雑でなければ、私たちはすぐに成長します。それらを研究するのは退屈です。
編集：私はまた、これらの問題をある程度回避する別の哲学があることを付け加えなければなりません。おそらく、現象をモデル化するための鍵は、オブジェクトをプリミティブとしてとらえることではなく、オブジェクトが互いに相互作用する方法です。これは圏論の視点であり、数学のいくつかの分野では驚くほど強力なアイデアであることがわかりました。この場合、オブジェクトの「実装」は実際には重要ではありません。実際、圏論の重要なポイントは、表面上は非常に異なっているように見える2つのモデルが、同じ現象の2つの「実装」にすぎない場合があるということです。