上の有界実数値関数 $[0,1]$、統合不可能？
そのような機能はありますか？はいの場合、それは非常に病的なケースであるに違いありません。ここでは、Lebesgueの可積分性について話しています。
たとえば、 $f(x)=1$ もし $x$ 有理数であり、それ以外の場合はゼロです。 $\int_0^1 f(x)dx = 0$。したがって、それよりも病的な例を見つける必要があります。考えられる例は次のとおりです。
しましょう $f(x)$ ガウス確率変数の実現である $Z_x$ 平均が等しい $0$ とに等しい分散 $1$。と仮定しましょう$Z_x$は同一かつ独立して分布しています。そのような機能$f(x)$どこにも連続しておらず、ホワイトノイズの実現と見なすことができます。しかし、あなたはその統合が$[0,t]$ 値です $B(t)$ で始まるブラウン運動の実現の $B(0)=0$、および時間で測定 $t$。したがって、$\int_0^1 f(x) dx = B(1)$。ブラウン運動はどこにも微分可能ではないので、ここで私が言っていることに矛盾があるかもしれないことに注意してください。
とにかく、私は反例を見つけたことがありません：に制限された関数 $[0, 1]$しかし、その間隔では積分できません。例を挙げていただけますか？
回答
しましょう $f$ 上の有界関数である $[0,1]$。
どちらか $f$ 測定可能であり、その後 $$ \int_0^1 |f| ≤ \sup |f|\ \int_0^1 1\,\mathrm d x = \sup |f| < \infty $$ そう $f$ 可積分です。
どちらか $f$測定できません。これは、選択公理を想定している場合に存在します。その後、測定不可能なセットを取得できます$\Omega$ そしてとる $f = \chi_\Omega$Nate Eldredgeによって提案された、このセットの特性関数。その場合、定義上、この関数は統合できません。