USAMO問題のヒント。
Nov 23 2020
すべての正の整数nに対して、5で割り切れるn桁の数が存在することを証明します。$^n$その数字はすべて奇数です。
USAMO2003。
このような問題を目にしたのはこれが初めてなので、どうしたらよいかわからない、誘導、構築、小さなケースのチェック、矛盾などが私が試したことのいくつかです。
どこでも簡単に解決策を見つけることができることは知っていますが、解決策を見たくないので、ヒントを教えてください。
私は解決策を投稿しました https://math.stackexchange.com/questions/3918561/usamo-problem-solution ここで、それをチェックしてください。
完全な解決策を提供しないでください。ヒントをいただければ幸いです。
回答
5 Peanut Nov 23 2020 at 00:47
ヒント：luluのコメントに続いて、あなたが数を形成したとしましょう $N$ と $n-1$ で割り切れる奇数桁 $5^{n-1}$。この番号を次のように書きましょう$N = p\cdot5^{n-1}$。次に、奇数桁を見つけたい$a$ そのような $a\cdot10^{n-1}+ p\cdot5^{n-1} = k\cdot5^n$ いくつかの整数の場合 $k > 0$。これは本当の場合$5 | (a\cdot2^{n-1}+p)$。書き込み$a = 2m+1$、私たちが常に見つけることができることを証明できますか $m$？また$m$ modです $5$、 それゆえ $a$ は数字です。
基本ケースは明らかです。