$uu^* \leq vv^* \implies \exists w : u = vw$

Question

マーフィーの本からの次の断片を考えてみてください。$C^*$-代数と作用素論」：

どうすれば拡張できますか $w_0$ 地図へ $w_1: H \to H$？私たちは最初に拡張すると思います$w_0$ 閉鎖に $\overline{v^*(H)}$ そしてそれを次のように定義します $0$その直交補空間について。それは動作しますか？

また、なぜ私たちは持っているのですか $u = vw_1$？これはの明示的な拡張に依存しますか$w_0$ または、のすべての有界拡張に当てはまりますか $w_0$？

Answer 1

はい、いつでもできます。一度も行ったことがない場合は、有界線形演算子がその定義域の閉包への連続性によって拡張できることを示す必要があります。そして、あなたが分解した場合$H=H_1\oplus H_1^\perp$ そして $S,T$ 上の有界作用素です $H_1$ そして $H_1^\perp$ それぞれ、その後 $S\oplus T$ によって定義されます $(S\oplus T)(x\oplus y)=Sx\oplus Ty$ は有界作用素です $\|S\oplus T\|\leq\|S\|+\|T\|$。