ワイエルシュトラス因数分解定理、無限多項式/無限べき級数
基本的な複素解析からわかるように、任意の有限多項式(無限べき級数) $P(z)$ ゼロの積として表すことができます。 $P(z)=\Pi_n(z-z_n)$ (いつ $z_n $ゼロです)。
そして、私たちが知っているように、「ワイエルシュトラス因数分解定理」は、私が前に述べた定理のスーパーインクルージョンであり、ワイエルシュトラス因数分解定理を証明するのはかなり難しいです。
関数が無限べき級数の場合、ワイエルシュトラス因数分解定理を証明しようとしましたが、思ったより複雑に見えます。
関数が無限のべき級数である場合、ワイエルシュトラスの因数分解の定理に良い(またはない)証明があるかどうか誰かが知っていますか?
回答
しましょう $E_0(z)=1-z, E_n(z)=E_0(z)\exp(z+z^2/2+..z^n/n)$ ワイエルシュトラスの因数分解と $f$ 一部のドメインの分析関数 $G$
次に:
1:もし $G=\mathbb C$ そして $z_1,z_2...$ のゼロの可能性のある空のセットです $f$ (多重性のために繰り返される)除外 $0$、整関数があります $g$ および非負の整数 $k_0,k_1,..$ st:
$f(z)=e^{g(z)}z^{k_0}E_{k_1}(z/z_1)...E_{k_n}(z/z_n)...$ 平面内の正規収束(部分積は平面のすべてのコンパクトサブセットに絶対収束します)
もちろん、製品は空または有限である可能性があり、一般的に一意ではありません。さまざまな場合(有限次数など)、単一性を持つことができますが、次のような単純な例でもかまいません。$\sin \pi z$ 要因のある製品を好むため、柔軟性は単一性よりも優れていることを示します $1-z^2/n^2$ または、グループ化によって取得された条件付き積が必要な場合 $n$ と $-n$ ワイエルシュトラスの程度の要因に $1$ (そのようにグループ化すると、指数部分がキャンセルされます)
2:もし $G \ne \mathbb C$ 単に接続され、 $z_1,z_2...$ のゼロの可能性のある空のセットです $f$ (多重性のために繰り返されます)、あります $w_1,w_2,...$ 外側 $G$、 $k_1,k_2,..$ 非負の整数と $g \in Hol(G)$ st
$f(z)=e^{g(z)}E_{k_1}(\frac{z_1-w_1}{z-w_1})...E_{k_n}(\frac{z_n-w_n}{z-w_n})...$ で正規収束 $G$ (部分積は、与えられた単連結ドメインのすべてのコンパクトサブセットに絶対収束します)
もちろん、製品は空または有限である可能性があり、一般的に一意ではありません。さまざまな場合(たとえば、ディスク上の有界またはより一般的にはハーディ空間関数)、単一性(ブラシュケ積)と非ゼロ項のさらに洗練された分解(外部関数、特異な内部関数など)を持つことができます。
3:もし $G$ 今では、上記のホールドだけでなく、いくつかのホールドと接続されています $h$ (の代わりに $e^{g(z)}$)上の可逆正則関数のグループ $G$ (($1/h$ 正則もまたは $h$そこにゼロはありません); 今$h$ 一般的にはもはや指数関数ではありません(を参照) $1/z$ パンクした平面またはディスク上)
べき級数は単連結定義域(おそらく無限半径の円盤)を持っているので、収束半径がゼロでない限り、結果は成り立ちます。それらが境界で(または全体の場合は無限大で)妥当な成長条件を満たす場合、何らかの形の単一性(ブラシュケ積と内外分解または有限次数ワイエルシュトラス製品)があります。$g$ それぞれ多項式です)
後で編集:コメントによると、証明に関しては、これは古典的な結果であり、証明には時間がかかりますが、アイデアは単純です-ゼロの離散性を使用します(特に、ゼロが最大で可算であり、たとえば、ケース全体で絶対値を増やすことで番号が付けられます)およびWeierstrass製品のプロパティ $E_n(z)=1-\sum_{k \ge n+1}a_kz^k, a_k \ge 0, \sum a_k=1$、構築する $F$ の零点を持つ関数 $f$、その後 $f/F$ ゼロがないため、単連結の場合は指数関数になります。 https://www.springer.com/gp/book/9780387982212 第3章と第4章には、歴史的な参考資料と多くの洞察を備えた非常に優れた証拠があります。 https://www.mheducation.com/highered/product/real-complex-analysis-rudin/M9780070542341.html 第15章に簡単な(しかしあまり啓蒙的ではない)証拠があるので、これらと、おそらくそのための入門的な複雑な分析に関する良い本を参照してください。
少し複雑です。
べき級数
$$P(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_kz^k$$ そしてより一般的なローラン級数 $$L(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_kz^k$$持って収束半径を。この半径外の値は定義されていません。
1つの複素変数の分析では、ある点の周りに常にべき級数またはローラン級数を作成できることがわかります。 $z_0$その収束半径が最も近い極に正確に接触するようにします。
微積分(1つの実変数)で学習する有名な例は、McLaurinシリーズの $\arctan(t)$ 収束する $[-1,1]$実数直線上。1つの複素変数では、これが発生することを証明できます。
- 中心点は $z=0$
- $\arctan(z) = \frac{i}2 \left(\log(1-iz) - \log(1+iz)\right)$
- に最も近い極 $z=0$ です $z=\pm i$
- $\|\pm i\| = 1$
これで、べき級数の部分和には次数と同じ数の零点があり、ワイエルシュトラス因数分解の定理を使用してそのような部分和を因数分解できます。
しかし、べき級数の部分和は一意ではありません。
代数の基本定理のため、収束半径の外側のどこかで、項の数を増やすと、部分和を選択するために、あるパターンで過剰なゼロを飛び回ることになります。