ウェッジ製品内の外積代数/デリバティブの移動
仮定：しましょう$M$ スムーズに $m$-マニホールド。（必要に応じて：$M$向き付け可能であり、次に向き付けられます。しましょう$M$コンパクトに。しましょう$(M,g)$ リーマン多様体になります。）
しましょう $\Omega^jM$ スムーズなセットになります $k$-フォーム $M$、 にとって $j=0, 1, ..., m$。しましょう$d_j: \Omega^jM \to \Omega^{j+1}M$ 外部微分/微分である $\Omega^jM$ （に基づく $d: \Omega(M) \to \Omega(M)$、と $\Omega(M)$ $:= \bigoplus_{j=0}^{m} \Omega^jM$）。
しましょう $k \in \{0, 1, ..., m\}$。しましょう$(\alpha, \gamma) \in \Omega^kM \times \Omega^{m-(k+1)}M$。
観察：
- $d_k \alpha \wedge \gamma$ 滑らかなトップフォームです（別名スムーズ $m$-形）
- $(-1)^{1+k^2} \alpha \wedge d_{m-(k+1)}\gamma$ 滑らかなトップフォームです（別名スムーズ $m$-形）
質問1：上記の観察が正しいと仮定すると、それらは等しいですか？
質問2：一般に、外部の微分/微分をウェッジ製品に移動して乗算することはできますか？$(-1)^{\text{something}}$？
質問3：上記のいずれにおいても、追加のことを想定していますか？$M$ 向き付け可能/方向付け/コンパクト/リーマン多様体のように？
質問4：質問1に当てはまらない場合は、2つの形式のそれぞれが少なくとも等しい積分を持っているかどうか、つまり、それぞれをプラグインしたときに得られる値$\int_M$は同じ？ここで、私たちは今仮定します$M$ 向き付け可能であり、次に向き付けされており、コンパクトだと思います（そうでない場合は、フォームにコンパクトなサポートなどがあると想定する必要があります）。
コンテキスト：これは、ホッジ双対演算子の定義を含む、ホッジ分解定理につながるいくつかの定義と命題に由来しますが、ホッジ以外の部分を正しく理解しているかどうかを確認しようとしています。（（$\gamma$ 実際にはいくつかの画像です $\beta \in \Omega^{k+1}M$ ホッジ双対の下で。）
回答
これが答えの試みです。
質問1そのような平等の必要はありません。本当はそれです$$ d\left(\alpha\wedge \gamma \right) = d\alpha \wedge \gamma + (-1)^{\deg\alpha}\alpha \wedge d\gamma $$
そして、あなたの平等が真実であると仮定すると、 $d(\alpha\wedge\gamma)$
具体的な反例は次のとおりです。 \begin{align} \alpha &= dx^1 & \gamma = x^2dx^3\wedge\cdots\wedge dx^n \\ d\alpha \wedge \gamma &= 0 & \alpha \wedge d\gamma = dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \end{align}
質問2答えはノーです。上記を参照。
上記の質問3では、計算はローカルであるため、コンパクトさや向き付け可能性には依存しません。反例をグラフの外側でゼロだけ拡張します。
質問4答えはまだノーです：上記の反例では、$d\alpha\wedge \gamma = 0$したがって、積分はゼロですが、 $\alpha\wedge d\gamma$ は向き付け可能な多様体上の体積形式であり、ゼロ以外の積分を持ちます。
@JanBohrの回答（2つの自己参照回答につながる）に関しては、念のために追加する必要があります $M$ が方向付けられている場合、ストークスの定理は次のように述べています $$ \int_M d(\alpha\wedge \gamma) = \int_{\partial M} \alpha\wedge \beta $$ したがって、 $$ \int_M d\alpha \wedge \gamma = (-1)^{\deg \alpha+1}\int_{M}\alpha\wedge d\gamma + \int_{\partial M}\alpha\wedge \gamma $$ したがって、（署名するまで）平等があります $M$ 境界がない、または $\alpha\wedge \gamma$ はゼロです $\partial M$。
外部微分の定義特性の1つは、ライプニッツの法則です。 $$d(\alpha\wedge \gamma)=d\alpha\wedge \gamma+(-1)^{k} \alpha\wedge d\gamma,$$ どこ $k$ の程度です $\alpha$、たとえばウィキペディアを参照してください。これは任意の滑らかな多様体に当てはまり、リーマン計量や標定は必要ありません。なので$k$ そして $k^2$ 同じパリティを持っている、前の表示の右側は正確にあなたの2つの違いです $m$-フォーム。特にそれらは等しい場合$\alpha \wedge \gamma$閉じています。両方の積分$m$-フォーム、 $M$ ストークスの定理により、正確な形の積分がゼロであるという理由だけで、方向性がありコンパクトです。
質問4の@DIdier_の反例について：これは、ストークスの定理の境界積分が消えない状況です（ $\mathbb{R}^n$）。上記で私は仮定することによってこの問題を回避します$M$境界がないこと。別の方法は、$\alpha $ そして $\gamma$ インテリアはコンパクトにサポート。