ウィグナー関数の時間発展
ウィグナー関数は次のように定義されます。 $$W(x,p,t)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int dy \rho(x+y/2, x-y/2, t)e^{-ipy/\hbar}\tag{1}$$ どこ $\rho(x, y, t)=\langle x|\hat{\rho}|y\rangle$。調和振動子のウィグナー関数の時間発展は、次の式で与えられるフォンノイマン進化方程式から始まるはずです。$$i\hbar\frac{\partial \rho}{\partial t}=\left[H,\rho\right].\tag{2}$$フォンノイマン進化方程式にはハミルトニアンの交換子と対象の演算子が関係しているため、どのように始めればよいかわかりません。ただし、ウィグナー関数は関数ですが、整流子を評価するにはどうすればよいですか？
回答
フォンノイマン方程式から始める： $$i\hbar\partial \hat{\rho} / \partial t=[\hat{H}, \hat{\rho}]$$ ここで、両側でワイル変換を行い、偏導関数が変換と交換し、整流子がモーヤルブラケットにマッピングされることに注意してください。 $$i\hbar\partial \tilde{\rho} / \partial t=-2i\tilde{H} sin(\hbar \Lambda/2) \tilde{\rho}$$ チルダは、演算子のワイル変換と $\Lambda = \frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}$最初の偏導関数が左に作用し、2番目が右に作用する場合。これで、調和振動子のハミルトニアンのワイル変換は、$\tilde{H}=p^2/2m+m\omega^2x^2$ テイラー級数の正弦関数を拡張すると、次のようになります。 $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$ ここで、合計の最初の項を個別に表現すると、次のようになります。 $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\left(\frac{\hbar}{2}\right)\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$
合計の最初の項を適用すると、次のようになります。 $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-i\hbar\left((p/m\frac{\partial}{\partial x} - 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}+\tilde{H}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$
合計の外側の左側の項と右側の最初の2つの項は、リオビルの方程式に正確に似ています。調和振動子ハミルトニアンは2次式なので$x$ そして $p$ そして、高階の用語はありません。高階の用語は消え、次のようになります。
$$\partial \tilde{\rho}+(p/m\frac{\partial}{\partial x} + 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}=0$$