米田の補題についての基本的な質問
好奇心から、少し圏論を自習しようとしていますが、米田の補題について質問があります。
私が使っている記譜法を思い出します。私はそれを（あまりにも）間違えないことを望んでいます。与えられたカテゴリー$\mathbf{A}$ すべてのオブジェクトに $A$ 前層を割り当てることができます $H_A : A^{op} \rightarrow Set$、これはマップのセットです $\mathbf{A}(-,A)$。
米田の補題は、プリシェーブのカテゴリーを考えると、 $[\mathbf{A}^{op},Set]$ 射が関手間の自然変換である場合、すべての前層にあります $X$ そしてすべてのオブジェクト $A$：
$[\mathbf{A}^{op},Set](H_A,X) \sim X(A)$ [1]
の（関手）意味を思い出せないところ $\sim$、しかしセットとして全単射があります。
設定が正しいことを願っています。そうでない場合は修正してください。さて、私の質問は、おそらく些細なことです。
質問：機能的特性とは別に、関係[1]は、$X(A)$ は空集合ではありません。常に自然な変換があります。 $H_A$ そして $X$。別の言い方をすれば、$X : \mathbf{A}^{op} \rightarrow Set$ そしてすべてのために $A$ そのような $X(A)$ 空集合ではなく、常に自然な変化があります $X$ そして $H_A$。それが正しいか ？前層が表現可能なものと「自然に接続」される（この表現はnaifです）のは簡単なことかもしれません。$H_A$ ？
回答
あなたの意味 $\sim$ つまり、2つの辺の間に「自然同型」があります。つまり、2つの関手の間の自然変換によって誘導されるマップと互換性があります。 $X$ そして $X'$、および2つのオブジェクト間の関数によって誘導されたマップを使用 $A$ そして $A'$。
はい、それは正しいです $X(A)$ 間の自然な変化を引き起こします $\mathbf{A}(-, A)$ そして $X$。そのような自然変換が何で構成されているかを考えるのに役立ちます：射のファミリー$\beta_a : \mathbf{A}(a, A) \to X(a)$ オブジェクトごとに $a$ の $\mathbf{A}$ これは、「構成と互換性がある」という意味で $f : a \to b$ その後 $f^*\circ \beta_a = \beta_b \circ X(f)$、 どこ $f^*$ との事前構成です $f$。あなたがそうするとき、これらの自然変換との要素の間に関係があることは奇妙に思われません$X(A)$。結局のところ、すべて$g : a \to A$ を生じます $X(g): X(A) \to X(a)$、の要素を生成する簡単な方法があります $X(a)$、すなわち、の要素で評価する $X(A)$。
（双対）米田の補題の証明をたどることで、これがどのように機能するかを正確に確認できます。すべて$r \in X(A)$ 自然変換を引き起こします $\beta$ そのような $\beta_a(g:a \to A) = X(g)(r)$。逆に、そのようなすべての自然変換$\beta$ 要素を生じさせる $\beta_A(\operatorname{id}_A) \in X(A)$。米田は、の要素を生み出す唯一の「自然な」（非公式な意味の）方法をあなたに言っています$X(a)$ 射から $\mathbf{A}(a, A)$ 適用することです $X$ 関数を取得するには $X(A) \to X(a)$ そしてどこかで評価します。