有限の原子測度空間は、原子の可算非交和である可能性があります[重複]
測度空間内のアトムAは、Aのすべての測定可能なサブセットが同じAまたは0の測度を持つように、正の測度を持つ測定可能なセットです。
アトミックメジャーは、すべての測定可能なセットにアトムが存在するようなメジャー空間です。
私が正の原子測度空間を持っているとしましょう $(X, \Sigma, \mu)$ そのような $\mu(X)<\infty$。Xが原子の可算非交和であり、測度がゼロの集合であることを証明したいと思います。
私の試み：
Xは測定可能な集合であるため、原子が存在します $A_1 \subseteq X$、もし $\mu(X/A_1) = 0$ 定義しない場合は完了です $A_2$ のサブアトムとして $X/A_1$そして、すべてのnについてこの方法に先行します。私が証明する必要があるのは$\mu(X/\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = 0$。
回答
あなたがそれを証明できるかどうかわからない $\mu\bigl(X\setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\bigr)=0$ あなたはあなたの選択に条件がないので $A_n$のですが、これは、再帰的な構造を強化する場合に実行できます。 $A_n$の。
上記の引数は「枯渇引数」の例であり、のすべての原子を「排気」します。$X$。
しましょう $\mathcal{A_1}=\{A\in \Sigma:\, A\subseteq A,\ A\ \text{is an atom}\}$ そして $\alpha_1=\sup_{A\in \mathcal{A_1}}\mu(A)>0$。次に、原子を見つけます$A_1\subseteq X$ そのような $\mu(A_1)\geq 2^{-1}\alpha_1$（これが私たちの状態です）。あなたが言ったように、$B\subseteq X\setminus A_1$ 我々は持っています $\mu(B)=0$ それから私達は書く $X=A_1\cup B$これで完了です。今、それを仮定します$X$原子の有限非交和とゼロ測度のセットとして書くことはできません。次に、前と同じように続けて、再帰的にシーケンスを見つけます$A_n$ そのような原子の
$1)$ $\mu(A_{n+1})\geq 2^{-1}\alpha_{n+1}$
$2)$ $\alpha_{n+1}=\sup_{A\in \mathcal{A_{n+1}}}\mu(A)$
$3)$ $\mathcal{A_{n+1}}=\{A\in \Sigma:\, A\subseteq X\setminus(A_1\cup...\cup A_{n}),\,\ $A$\, \text{is an atom}\}$
さて、 $A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ それを示します $\mu(X\setminus A)=0$。以来、$A_n$は互いに素です $(1)$ 我々は持っています $$\mu(A)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)\geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{2}$$ さて、 $\mu$ 有限であることは、 $\alpha_n\to 0$ なので $n\to \infty$。今それを仮定します$X\setminus A$ポジティブな尺度があります。次に、$X\setminus A$ 原子が含まれていると言う $B$。だが$B\subseteq X\setminus A$ ことを意味します $B\subseteq X\setminus (A_1\cup ...\cup A_{n})$ すべてのための $n$。だから、$B$ それに続く原子です $B\in \mathcal{A_{n+1}}$。したがって、の定義により$\alpha_n's$ 私たちは持っている必要があります $\mu(B)\leq \alpha_{n+1}$ すべてのための $n$。そう、$B$ ゼロメジャーが必要です。これは、 $B$ は原子であり、正の測度が必要です。