有界作用素のスペクトルについて

Question

[ウィキペディア] [1]によると

しましょう $T$ バナッハ空間に作用する有界線形演算子であること $X$ 複素スカラー場上 $\mathbb{C}$ そして $I$ 上の恒等演算子になる $X$。のスペクトル$T$ すべてのセットです $\lambda \in \mathbb{C}$ オペレーターが $T-\lambda I$ 有界線形演算子である逆関数はありません

この定義は、次の理由で私には不正確に思えます。なぜなら$X$ バナッハです $T$逆数があり、[この逆数は有界でなければなりません] [2]。しかし（私の意見では）ウィキペディアの定義は誤解を招く可能性があります。$T-\lambda I$ は可逆ですが、制限はありません。その場合 $\lambda$ のスペクトルの要素でもあるようです $T$上記の定義によると。この場合、スペクトルのより良い定義は、次のようなすべての複素数のセットになると思います。$T-\lambda I$ 可逆ではありません。

質問：もし$X$Banachの代わりに標準化されていると想定されていますが、スペクトルの最良の定義は何ですか？1つの要求がありますか$T-\lambda I$可逆ではない、または可逆で有界ではない？

[1]： https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)#:~:text=%2C%20for%20all%20）.-、Basic％20properties、subset％20of％20the％20complex％20plane。＆text = will％20be％20defined％20everywhere％20on％20the％20complex％20plane％20and％20bounded。＆text = The％20boundedness％20of％20the％ 20spectrum、bounded％20by％20％7C％7CT％7C％7C。[2]：有界作用素の逆？

Answer 1

場合 $T-\lambda I$ 単射であり、 $T-\lambda I$ に逆になります $\mathcal{R}(T-\lambda I)$、しかしそれはそれを保証するものではありません $(T-\lambda I)^{-1} : \mathcal{R}(T-\lambda I)\subset X\rightarrow X$有界です。たとえば、$T : L^2[0,1]\rightarrow L^2[0,1]$ によって定義されます $$ Tf = \int_0^x f(t)dt. $$ $T$有界です。逆に$T^{-1}g = g'$ 閉じている場合は、関数でのみ定義されます $g \in L^2[0,1]$ それは

$\;\;\;$（i）絶対連続、
$\;\;\;$（ii）で消える $0$、および
$\;\;\;$（iii）に自乗可積分導関数がある $[0,1]$。

さらに $T^{-1}$そのドメインに制限されていません。したがって、拡張することはできません$T^{-1}$それが継続するような方法で。の範囲が$T$ すべてだった $X$、その逆 $T$ どこでも定義されました $L^2[0,1]$、その後、あなたの議論が適用されます $T$バナッハ空間で定義され、閉グラフを持ちます。しかし、たとえそれが起こる必要はありません$T^{-1}$ この場合は発生しないため、存在します。