増加する関数が導関数を持っていることを示す $0$ ae

Aug 18 2020

しましょう $0<p<1$ 定義します $F:[0,1]\rightarrow[0,1]$ 沿って $$F(x)=\begin{cases} pF(2x),&x\in\left[0,\frac12\right]\\ p+qF(2x-1),&x\in\left[\frac12,1\right] \end{cases}$$ どこ $q=1-p$。それを証明したい$F'(x)=0$ ae

私は、基本的に一連の演習である、KyleSiegerstによる「 HowtoGamble IfYouMust 」を進めています。$F(x)$ ギャンブラーがバンクロールで始まる確率です $0\leq x\leq 1$ 彼の目標に到達します $1$彼が赤と黒のゲームで「大胆なプレー」に従事している場合。彼のバンクロールが$\leq\frac12$ 彼はそれをすべて賭け、確率で賭けた金額を勝ち取ります $p$、そして確率でそれを失う $q$。彼のバンクロールが$>\frac12$、彼はターゲットに到達するのに十分なだけ賭けます、つまり、 $1-x$。

演習では、独自の機能があることを示しました $F$上記の関数方程式を満たし、それが連続的で厳密に増加していること。運動後$33$、著者は次のように述べています $p\neq\frac12$、 $F'(X)=0$ ae、そう $F$悪魔の階段です。私はこの声明を証明しようとしてきました。（増加関数が微分可能であることを私は知っていますaeそれは私が問題を抱えている値です。）

あいまい $50$-測度論の昔の記憶は、私をフォランドの「実際の分析」の命題3.31に導きました。

場合 $F\in NBV, \text{ then }F\in L^1(m).$ また、 $\mu_F\perp m \text{ iff } F' =0$ ae、および $\mu_F \ll m \text{ iff } F(x)=\int_{-\infty}^xF'(t)dt. $

ここに $m$ はルベーグ測度であり、aeはルベーグ測度に関するものです。 $\mu_F$ によって定義されるボレル測度です $\mu_F([a,b])=F(b)-F(a)$。フォランドは$NBV$ それを意味する $F$ 有界変動であり、 $F(-\infty)=0$ そして $F$まさに連続的です。拡張できるので問題ありません$F$ に $\mathbb{R}$ 定義することによって $F(x)=0$ にとって $x<0$ そして $F(x)=1$ にとって $x>1$。

だからそれは見せることに帰着するようです $\mu_F\perp m$。これは、$E\subset[0,1]$ と $m(E)=0$ そして $\mu_F(E)=1$私が間違っていなければ。これを証明する方法がわかりません。確かにそれは私にはまったくありそうもないように思われるので、私は何かを誤解しなければなりません。

演習29で、私はそれを証明しました $$F(x)=\sum_{n=1}^\infty p_{x_1}\cdots p_{x_{n-1}}px_n$$ どこ $x_i$ ビット番号です $i$ の $x$、および $p_0=p,\ p_1=q$。（いつ$x$ が二進分数である場合、終了表現を取ります。）勝利を表現する場合 $1$ とによる損失 $0$、これは、バンクロールのビットが対応するゲームビットと最初に一致した場合にのみ、ギャンブラーがゴールに到達することを意味します。 $1$。これはの最も具体的な表現です$F$ 論文では、しかし私はそれがどのように役立つのかわかりません。

これに光を当ててくれませんか？

回答

4 shalop Aug 21 2020 at 15:27

最初に注意してください $F$ 確率変数の累積分布関数です $X:=\sum_1^{\infty} 2^{-n} \xi_n$ どこ $\xi_n$ iidベルヌーイです$(p)$ランダム変数。確かに、それは明らかです$X = \frac12\xi_1+\frac12 Y$、どこ $Y$ と同じ分布を持っています $X$ とは独立しています $\xi_1$。これは関係を与えます$$P(X\le x) = P(X\le x|\xi_1=0)P(\xi_1=0)+P(X \le x|\xi_1=1)P(\xi_1=1) $$$$= (pP(Y\leq 2x)+q\cdot 0)1_{\{x \le 1/2\}} + (p\cdot 1 +qP(Y\leq 2x-1))1_{\{x >1/2\}},$$ これはまさにの関係です $F$。

ここで、大数の法則により、 $X$ 2進展開が漸近密度を持つ実数のセットでサポートされています $p$ の $1$の（または同等に、漸近密度を持つ $q$ の $0$の）。

しかし、そのようなすべての実数の集合は、ルベーグ測度がゼロです。確かに、から実数を均一にサンプリングすると$[0,1]$、その2進数はiidベルヌーイです$(1/2)$したがって、ほぼ確実にの漸近密度 $1$のは $1/2$ではなく $p$。