Dowód $\max(A+B) = \max(A) + \max(B)$ poprawny?

Question

Cześć, próbuję udowodnić, co następuje: Pozwól $A, B \subset \mathbb {Q}$ i $A+B = \{a+b: a\in A, b \in B\}$.

Przypuszczać $\max(A)$ i $\max(B)$ istnieje, pokaż to $\max(A+B)$ też istnieje i to

$$\max(A+B)= \max(A) + \max(B)$$

Mam następujący dowód, nie jestem pewien, czy jest poprawny:

Prawdziwa liczba $\max(A) + \max(B) \geq x$ dla wszystkich $x \in A+B$

Od $\max(A) \in A$ i $\max(B) \in B$ definicja $A+B$ że $\max(A+B) \in A+B$ trzyma.

Teraz pozwól $x \in A+B$. $\Rightarrow$ tam istnieje $a \in A$ i $b \in B$ takie że $x = a+b$

Zgodnie z definicją $\max$ jednak, $\max(A) \geq a$ i $\max(B) \geq b$.

W związku z tym $\max(A) + \max(B) \geq a+b = x$

Czy ten dowód jest poprawny?

Answer 1

Twój dowód jest poprawny, ale trochę zbędny. Pokazałeś to$\max(A)+\max(B) \ge x$ dla wszystkich $x \in A+B$i wyjaśniłeś, jak to zrobić $\max(A)+\max(B) \in A+B$. To wystarczy, aby pokazać, czego potrzebujemy, ponieważ znaleźliśmy górną granicę$A+B$ to również należy do $A+B$, stąd jest to maksimum.