Kraty nad modułami

Question

Standardowa konstrukcja krat w $\mathbb{R}^n$ można uogólnić przyjmując dowolną skończoną wymiarową przestrzeń wektorową $V$ nad polem $F$ i subring $R$ z $F$, zgodnie z Wikipedią (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group).

Czy jest jakiś powód, dla którego rozważane są tutaj tylko skończone wymiarowe przestrzenie wektorowe, a nie wolne moduły o skończonej randze? Krata nadal powinna tworzyć podgrupę addytywną i myślę, że właściwość zasad do tworzenia sieci izomorficznych powinna być nadal taka sama. Czy jest jakaś ważna właściwość, która została utracona w wyniku tego dalszego uogólnienia, którego mi brakuje?

Answer 1

Ważną właściwością teorii krat jest iloczyn wewnętrzny, z którego otrzymujesz $\mathbb{R}^n$, a także powiązane obiekty, takie jak objętość.

Wiele interesujących i przydatnych twierdzeń wywodzi się z interakcji między strukturami algebraicznymi i geometrycznymi, np . Twierdzenie Minkowskiego i jego zastosowanie do geometrii liczb. Geometria jest również ważna dla jej zastosowań w kryptografii , ponieważ potrzebna jest norma, aby mówić o takich rzeczach, jak problem z najkrótszymi wektorami.

Równoważną definicją dla krat jest zdefiniowanie ich jako swobodnych $\mathbb{Z}$moduł wyposażony w kwadratową formę. Następujące uogólnienie pojawia się na stronie 3 książki „Kraty i kody” Ebelinga.

Definicja: Niech$R$być przemiennym pierścieniem z jednością. Symetryczny moduł dwuliniowy$(S,b)$ nad $R$ to para składająca się z wolnego $R$-moduł $S$ znamienity $n$i symetryczna dwuliniowa forma $b : S \times S \to R$.

Propozycja 1,1 (Ebeling) Do integralne ogrodzenia w$\mathbb{R}^n$ (kraty, gdzie każdy iloczyn skalarny jest liczbą całkowitą) to symetryczne moduły dwuliniowe nad liczbami całkowitymi, gdzie $b$ jest dodatnio określoną symetryczną formą dwuliniową.

Tekst wspomina, że ​​symetryczne dwuliniowe moduły tworzą ponad $\mathbb{Z}$ bez własności określonej dodatnio są badane w rozdziale 4, a przykłady na pierścieniach liczb całkowitych są badane w rozdziale 5. Mogą się one okazać interesujące do przeczytania.