Łamanie prawa według liczb

Question

Agent specjalny Benford został powstrzymany przez trzeci nierozwiązany przypadek niewłaściwej kreatywnej księgowości i dobrowolnie wycofa się z Zespołu Zadaniowego ds. Fraudulent Numbers. Zdolność Benforda do wykrywania sfałszowanych ksiąg poprzez zliczanie pierwszych cyfr zapisów numerycznych jest tak znana, że ​​prawo nosi imię naszego załamanego bohatera.

Prawo Benforda : Na uczciwym arkuszu rachunkowym pierwszą cyfrą prawie 1⁄3 wszystkich wpisów numerycznych powinna być „1”, znacznie częściej niż „2” lub jakakolwiek inna cyfra. Liczba, w której każda cyfra jest pierwszą cyfrą, pasuje do malejącego wzoru, gdzie „9” jest pierwszą cyfrą najmniejszej liczby liczb.

Ta metodologia dobrze służyła Benfordowi przez dziesięciolecia służby, ponieważ pozbawieni skrupułów księgowi przeważnie żonglowali liczbami dziesiętnymi . Jednak z biegiem lat dwie sprawy pozostały nierozpoznane, ponieważ dotyczyły innych systemów numeracji. Podejrzane są wszystkie dodatnie liczby całkowite.

1. Nierozwiązany przypadek pierwszy. Rozpoznając najstarszy znany system numeracji, Benford wiedział, że jego pierwsze cyfry nie doprowadzą do skazania.

2. Nierozwiązany przypadek drugi. Benford rozpoznał ten system numeracji jako stosowany w praktycznie wszystkich nowoczesnych komputerach i ponownie musiał przyznać, że jego pierwsze cyfry nie zawierają żadnych wskazówek.

W końcu, niestety, przyszedł ostatni przypadek.

1. Nierozwiązany przypadek trzeci. Benford nigdy wcześniej nie zetknął się z tym systemem numeracji, ale widząc wpisy zdał sobie sprawę, że one również sprzeciwiają się „Prawu”. Zanim się poddał, Benford rzeczywiście dowiedział się, że ten sam dewiacyjny system numeracji był obserwowany w kręgach naukowych od wieków, choć rzadko, i faktycznie był podstawą niektórych sprytnie wydajnych komputerów cyfrowych.

Jakie są systemy numeracji przypadków pierwszego, drugiego i trzeciego i dlaczego są one tak bezprawne?

Wyzwanie: w którym z tych przypadków zastępca Benforda, następca agenta specjalnego, może odnieść większy sukces, licząc drugie cyfry zgłoszeń? Jakie byłyby ich oczekiwane częstotliwości liczbowe?

_{(Żadna nieuczciwa gra słów nie jest w toku.)}

Answer 1

Myślę, że odpowiedź jest następująca.

Przypadek pierwszy:

Jednoargumentowe , znane również jako arytmetyka tally. Każda liczba jest określona za pomocą kilku symboli (zwykle pionowych ukośników podobnych do cyfry), stąd pierwsza „cyfra” jest zawsze taka sama. To oczywiście najstarsza metoda liczenia.

Przypadek drugi:

Binarny . Ponownie, pierwszą cyfrą każdej liczby jest 1, więc prawo Benforda nie może być pomocne. Binarny jest podstawą większości nowoczesnych architektur komputerów.

Przypadek trzeci:

Zrównoważony trójskładnik . W trójskładnikowym zbalansowanym cyfry to 1, 0 i -1, a pierwsza cyfra każdej liczby dodatniej to zawsze 1. Istnieje kilka teoretycznych powodów, dla których trójskładnik zrównoważony zwiększa wydajność niektórych operacji matematycznych i najwyraźniej był używany jako podstawa Radzieckie komputery w przeszłości.

Premia:

Spojrzenie na drugą cyfrę dostarczy pewnego statystycznego odchylenia w binarnych i zrównoważonych przypadkach trójskładnikowych, ale nie w przypadku jednoargumentowym. W przypadku binarnym, używając prostego uogólnienia rozkładu przedstawionego w Wikipedii , prawdopodobieństwo drugiej cyfry wynosi 0$\log_2(3) -\log_2(2)$co stanowi około 58,5%.

Dla zrównoważonej trójskładnika rozkład drugiej cyfry wydaje się podobny do trójskładnika, ale jest nieco inny. Aby to osiągnąć, połączymy zrównoważony rozkład trójskładnikowy z regularnym rozkładem trójskładnikowym. W regularnym rozkładzie trójskładnikowym prawdopodobieństwo, że liczba zaczyna się od$n$ (jako ciąg cyfr) to $\log_3(n+1) - \log_3(n)$.

Aby ułatwić prezentację, możemy zignorować liczby z mniej niż 3 zrównoważonymi cyframi trójskładnikowymi, ponieważ będzie skończona liczba wyjątków od reguł, poniżej których zakładamy, a które znikają, gdy patrzymy na nieskończoność liczb całkowitych. Będziemy również używać symboli$+$, $\cdot$ i $-$ dla naszych zrównoważonych cyfr trójskładnikowych.

Przyjrzyjmy się najpierw przypadkowi, w którym znajduje się druga cyfra $-$. Przekształcając się w trójskładnik, mamy$[+ - - , + - +] \equiv [12,21]$, $[+ - - -, + - + +] \equiv [112,211]$, $[+ - - - -, + - + + +] \equiv [1112,2111]$, i tak dalej. Zatem druga cyfra zrównoważonej liczby trójskładnikowej to$-$ wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu numer trójskładnikowy zaczyna się od $12$, $112$, $1112$, $\ldots$; $20$; lub$21$, z wyjątkiem tych zaczynających się od $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$. Aby uzyskać prawdopodobieństwo takiego wystąpienia, zsumujemy wszystkie powiązane prawdopodobieństwa z rozkładu Benforda w normalnych zakresach trójskładnikowych. Korzystając z Kalkulatora Magmy , otrzymujemy przybliżone prawdopodobieństwo 46,5%.

Rozważmy teraz przypadek, w którym znajduje się druga cyfra $\cdot$. Jak powyżej, dla zrównoważonych liczb trójskładnikowych spełniających ten warunek, równoważne liczby trójskładnikowe spełniają$[ + \cdot - , + \cdot + ] \equiv [22 , 101]$ , $[ + \cdot - -, + \cdot + +] \equiv [212 , 1011]$, $[ + \cdot - - -, + \cdot + + +] \equiv [2112 , 10111]$itd. Tak jak poprzednio, zrównoważona liczba trójskładnikowa ma drugą cyfrę $\cdot$ kiedy odpowiednia liczba trójskładnikowa zaczyna się od $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$; $22$; lub$10$, z wyjątkiem tych, które zaczynają się od $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$. Daje to prawdopodobieństwo około 30,63%.

Dla drugiej cyfry $+$, moglibyśmy po prostu dodać poprzednie wyniki i odjąć od 1, ale dla sprawdzenia obliczmy to w ten sam sposób. Jak wyżej, mamy$[ + + - , + + + ] \equiv [102 , 111]$ , $[ + + - -, + + + +] \equiv [1012 , 1111]$, $[ + + - - -, + + + + +] \equiv [10112 , 11111]$. Tak więc druga zrównoważona cyfra trójskładnikowa to$+$ kiedy odpowiednia liczba trójskładnikowa zaczyna się od $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$; lub$11$, z wyjątkiem tych zaczynających się od $112$, $1112$, $11112$, $\ldots$. Jak wyżej, prawdopodobieństwo to wynosi 22,87%.

Dla porównania, prawdopodobieństwa dla drugiej cyfry w normalnej trójskładnikowej wynoszą 40,22%, 32,47% i 27,32% dla $0$, $1$ i $2$odpowiednio.