Pytanie o półkole

Question

Potrzebuję pomocy z pytaniem na obrazku. Potrzebuję tylko kogoś, kto pomoże mi we właściwym kierunku. Nie chcę pełnego rozwiązania. Chcę spróbować samodzielnie rozwiązać to pytanie, ale potrzebuję tylko kogoś, kto mnie pokieruje.

Zastanawiałem się, czy pytanie ma coś wspólnego z połączeniem trzech punktów koła, w których okrąg dotyka półkoli?

A może to pytanie ma coś wspólnego z podobnymi trójkątami? Wiem, że kąt wyznaczony przez łuk wewnątrz półkola wynosi 90 stopni.

Answer 1

Wskazówka: Możesz spróbować użyć twierdzenia o potędze punktu o potędze -siecznej , pamiętaj, że jeśli dwa okręgi są do siebie styczne (wewnętrznie lub zewnętrznie), ich środki i punkt styczności są współliniowe i narysuj wszystkie możliwe promienie.

Answer 2

Podpowiedź:

Rozwiąż następujące równanie: $$\sqrt{(1+x)^2-x^2}=1+\sqrt{(2-x)^2-x^2},$$ gdzie $x$ to wymagany promień.

Answer 3

WSKAZÓWKA

Spróbuj z podejściem Circular Inversion, które prowadzi do$r=\frac 8 9$.

Answer 4

Niech środek małego półkola będzie C, punkt AB, gdzie styka się koło, to D, p oznacza środek okręgu, E to punkt, w którym okrąg styka się z większym półkolem. Niech okrąg dotyka mniejszego półkola w T. Niech promień okręgu będzie$r$, następnie $$OP=2-r, OD=\sqrt{(2-r)^2-r^2}=\sqrt{4-4r}, CD=\sqrt{(1+r)^2-r^2}=\sqrt{2r+1}.$$ Wreszcie, $$CD-OD=1 \implies \sqrt{1+2r}-\sqrt{4-4r}=1 \implies r=8/9.$$

Answer 5

Wskazówka

Spróbuj dołączyć do wszystkich ośrodków i punktów kontaktowych.