Introdução

Um contrato a termo é um acordo entre duas contrapartes para negociar um ativo específico, por exemplo, uma ação, em um determinado momento futuro T e a um determinado preço K . No momento atual t ≤ T , uma das partes concorda em comprar o ativo em T por um preço de K , e está efetivamente comprado no contrato. A contraparte concorda em vender o ativo a T por um preço de K , e está efetivamente a descoberto no contrato. O preço K é conhecido como preço de entrega e o tempo T é conhecido como vencimento.

Precificação de contratos futuros

Seja Vₖ(t, T) o valor de ser comprado um contrato a termo de uma ação S no tempo t com preço de entrega K e vencimento T , e seja S(t) o preço da ação S no tempo t , é É fácil ver que o valor do contrato a termo no vencimento é simplesmente a função de pagamento linear Vₖ(T, T) = S(T) — K .

Definimos o preço a termo F(t, T) no tempo t como sendo o preço de entrega K tal que Vₖ(t, T) = 0 , ou seja, tal que o valor do contrato a termo seja zero no tempo t . Além disso, por definição, pode-se entrar em um contrato a termo com preço de entrega K = F(t, T) sem custo inicial. Naturalmente, segue-se que F(T, T) = S(T) .

Considere um Vₖ(t, T) e F(t, T) mais gerais em t ≤ T . Seja r o juro zero constante com composição contínua e suprima qualquer dependência da taxa de juros no tempo, para um contrato a termo sobre uma determinada ação S que não paga dividendos, afirmamos que F(t, T) = S(t)eʳ ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

A maneira como provamos a afirmação acima é por meio do teorema fundamental da precificação de ativos , que afirma que nunca há oportunidades de arbitragem em um mercado eficiente. Ou seja, não se pode simplesmente começar com uma carteira vazia e terminar com uma carteira de valor positivo apenas realizando transações no mercado.

Considere o cenário onde F(t, T) < S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , no tempo t , um trader com uma carteira vazia pode comprar um contrato a termo, vender imediatamente a ação S ao preço de mercado atual S( t) e depositar o dinheiro a uma taxa de juros de r .

No tempo T , o trader terá que comprar a ação ao preço de entrega previamente acordado F(t, T) pelo contrato a termo. O comerciante também receberá o dinheiro depositado agora totalizando S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Como F(t, T) < S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , o trader acaba com uma carteira S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ — F(t, T) > 0 , o que contradiz nosso ponto de partida hipótese de “ não arbitragem ”.

Por outro lado, suponha que F(t, T) > S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , no tempo t, um comerciante pode vender um contrato a termo, emprestar S(t) quantia de dinheiro à taxa de juros r para comprar e manter o ação S ao preço de mercado atual S(t) .

No momento T , o trader venderá a ação a F(t, T) e pagará o empréstimo com juros acumulados totalizando S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Mais uma vez, o trader fica com uma carteira positiva F(t, T) — S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ > 0 .

No exemplo acima, assumimos que as taxas de juros para depositar dinheiro e tomar dinheiro emprestado são as mesmas. Na realidade, geralmente há um spread entre a taxa de empréstimo e a taxa de empréstimo. Seja r₁ a taxa de empréstimo e r₂ a taxa de empréstimo ( r₁ < r₂ resultando no spread bid-ask). Podemos agora construir os limites inferior e superior para o preço a termo S(t)eʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ ≤ F(t, T) ≤ S(t)eʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

A prova segue a mesma lógica de antes. Observe que, se o trader comprar um contrato e imediatamente vender a ação a S(t) agora, S(t) só poderá ser depositado à taxa de empréstimo atual r₁ . Por outro lado, se o comerciante vende um contrato e toma emprestado S(t) uma quantia de dinheiro para comprar a ação a S(t) , a taxa de juros do empréstimo é a taxa de empréstimo r₂ .

Precificação de contrato a termo com dividendo

Dando um passo adiante, vamos agora considerar uma ação S que paga um rendimento de dividendo conhecido p , expresso como uma porcentagem do preço da ação em uma base continuamente composta por ano. Reivindicamos o preço a termo para o contrato a termo de uma ação S com o preço de mercado atual S(t) no momento t é F(t, T) = S(t)e⁽ʳ⁻ᵖ⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Obtemos esse resultado usando duas carteiras. Seja a carteira A composta por e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ unidades da ação com dividendos continuamente reinvestidos na ação e seja a carteira B composta por um contrato a termo sobre a ação com preço de entrega K e vencimento T e Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ ᵗ⁾ quantia em dinheiro.

No tempo T , a carteira B tem caixa totalizando Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾. eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = K , que por sua vez é gasto no exercício da opção a termo e na obtenção da ação S cujo preço atual de mercado é S(T) , liquidando o valor da carteira B em S(T) . Da mesma forma, a carteira A tem o valor de S(t) . eᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = S(T) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = S(T) . Como os portfólios A e B têm o mesmo valor S(T) no tempo T e não adicionamos nem subtraímos nada de valor diferente de zero entre o tempo t e T, segue-se que as duas carteiras também devem ter o mesmo valor no tempo t , ou seja, S(t) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = Vₖ(t, T) + Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Voltando à nossa definição de preço futuro F(t, T) , F(t, T) é o preço de entrega K tal que Vₖ(t, T) = 0 . Usando a fórmula que acabamos de derivar, agora temos S(t) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = 0 + F(t, T)e⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Reorganizando os termos de ambos os lados, finalmente obtivemos o resultado F(t, T) = S(t)e⁽ʳ⁻ᵖ⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Precificação de contrato a termo em moeda estrangeira

Seguindo a mesma lógica, podemos obter o preço a termo de um contrato a termo de moeda estrangeira f . Seja X(t) o preço no tempo t em dólares americanos de uma unidade da referida moeda estrangeira f . Seja r₁ a taxa zero do dólar e r₂ a taxa zero estrangeira , ambas constantes e compostas continuamente. Então F(t, T) = X(t)e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Considere a carteira A com e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ unidades da moeda estrangeira f . E carteira B com um contrato a termo com preço de entrega K em dólares americanos e vencimento T e Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ valor à vista em dólares americanos .

No vencimento, a carteira B tem Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = K montante de dólares americanos que é posteriormente gasto no exercício do contrato a termo para receber uma unidade da moeda estrangeira f . Da mesma forma, o portfólio A tem e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = 1 unidade da moeda estrangeira f no tempo T . Uma vez que ambas as carteiras consistem em exatamente uma unidade da moeda estrangeira f no tempo T e nenhuma transação adicional de valores diferentes de zero foi realizada entre o tempo t e T , elas devem ter o mesmo valor no tempo t. Portanto, X(t) . e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = Vₖ(t, T) + Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Mais uma vez, fazendo Vₖ(t, T) = 0 e K = F(t, T) , chegamos a F(t, T) = X(t)e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Um estudo de caso

Os forwards cambiais estão entre os contratos de derivativos mais líquidos do mundo e muitas vezes revelam mais sobre a saúde dos mercados monetários (mercados para tomar empréstimos ou emprestar dinheiro) do que as próprias taxas de juros de curto prazo publicadas. Considere as duas questões a seguir.

(a) Em 3 de outubro de 2008, a taxa de câmbio euro-dólar estava sendo negociada a € 1 = $ 1,3772, e o preço a termo para um contrato a termo de 3 de abril de 2009 era de $ 1,3891. Supondo que as taxas de juros do euro de seis meses sejam de 5,415%, qual é a taxa implícita do dólar de seis meses? Ambas as taxas de juros são cotadas com contagem de 360 ​​dias e composição semestral . (Há 182 dias entre 3 de outubro de 2008 e 3 de abril de 2009.)

Neste caso, t = 0, T = 182, X(0) = 1,3772, F(0, 182) = 1,3891.

Usando o resultado obtido anteriormente, F(0, 182) = X(0) . e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽¹⁸²⁻⁰⁾ , onde r₁ e r₂ são a taxa zero do dólar constante e continuamente composta e a taxa zero estrangeira, respectivamente.

eʳ²⁽¹⁸²⁻⁰⁾ é o valor final de € 1 após 182 dias de capitalização contínua à taxa constante do euro r₂ , o que equivale a 182 dias de capitalização semestral à taxa do euro de seis meses de 5,415% cotada com a lei /contagem de 360 ​​dias. Ou seja, eʳ²⁽¹⁸²⁻⁰⁾ = 1 * 182/360 * ((1 + 0,05415/2)² — 1) + 1. O primeiro termo é simplesmente os juros acumulados sobre € 1 em 182 dias.

Da mesma forma, seja x a taxa implícita do dólar de seis meses, eʳ¹⁽¹⁸²⁻⁰⁾ = 1 * 182/360*((1 + x /2)² — 1) + 1.

Substituindo e reorganizando os termos, resolvemos x e obtemos x = 7,11820941%. Portanto, a taxa implícita do dólar de seis meses é de 7,11820941%.

(b) As taxas do dólar de seis meses publicadas eram, na verdade, 4,13125%. Que oportunidade de arbitragem existia? O que um potencial arbitrador precisa negociar para explorar essa oportunidade?

Um arbitrador pode realizar a seguinte transação para explorar:

Em 3 de outubro de 2008, compre um contrato a termo de 3 de abril de 2009, venda € 1 a $ 1,3772 e deposite $ 1,3772 a 4,13125%.

No vencimento, 3 de abril de 2009, receba o depósito com juros totalizando $ 1,3772 * {[(1 + 0,0413125/2)² — 1] * 182/360 + 1} = $ 1,406260951 e compre € 1 a $ 1,3891 por contrato a termo. Lucrando $ 1,406260951 - $ 1,3891 = $ 0,01716095091 para cada contrato que o arbitrador comprou.

Referências:

1. Uma Introdução às Finanças Quantitativas. Estevão Blyth.https://vittaquant-ai.com/wp-content/uploads/2021/08/An-Introduction-to-Quantitative-Finance-by-Stephen-Blyth.pdf
2. https://quant.stackexchange.com/questions/68515/how-to-derive-forward-price-on-stock-with-continuous-dividend
3. O Primeiro Teorema Fundamental da Precificação de Ativos. Departamento de Matemática de Cornell.http://pi.math.cornell.edu/~mec/Summer2008/spulido/fftap.html