บรรทัดฐานผลรวมของช่องว่างฟังก์ชัน
อะไรคือแบบแผนสำหรับบรรทัดฐานที่มอบให้กับผลรวมของช่องว่าง $X+Y$เช่นเดียวกับจุดตัดของช่องว่าง $X\cap Y$เหรอ?
ฉันกำลังอ่านบทความที่ผู้เขียนใช้ผลรวมของช่องว่างฟังก์ชันโดยไม่ต้องเขียนบรรทัดฐานอย่างชัดเจนและพวกเขาไม่ได้แสดงความคิดเห็นเพิ่มเติม
ฉันคิดว่าอาจจะเป็นบรรทัดฐานที่เป็นไปได้มากที่สุดสำหรับ $X\cap Y$ คือ $\|f\|_X +\|f\|_Y$ ด้วยบรรทัดฐานสำหรับ $X+Y$ แล้วเป็น $\min\{\|f\|_X,\|f\|_Y\}$.
ขออภัยหากคำถามนี้ซ้ำกันซึ่งในกรณีนี้เรายินดีที่จะลบออก ฉันไม่พบคำถามที่คล้ายกันเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงทางคณิตศาสตร์
คำตอบ
https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation_space
สมมติว่า $X$ และ $Y$ ฝังอย่างต่อเนื่องลงในพื้นที่เวกเตอร์โทโพโลยี Hausdorff $Z$ (ดังนั้น $X\cap Y$ และ $X + Y$เข้าท่า). บรรทัดฐานที่มักใช้คือ:$$ {\|x\|}_{X+Y} = \inf\{{\|x_1\|}_X + {\|x_2\|}_Y : x_1 + x_2 = x \} ,$$ $$ {\|x\|}_{X\cap Y} = \max\{{\|x\|}_X,{\|x\|}_Y\} .$$ บรรทัดฐานสำหรับ $X \cap Y$สมเหตุสมผลและเทียบเท่ากับบรรทัดฐานที่คุณแนะนำ สำหรับ$X+Y$บรรทัดฐานขั้นต่ำของสองบรรทัดนั้นน่าเสียดายที่ไม่ใช่บรรทัดฐาน
ให้นึกถึงพื้นที่แทน $X \oplus Y$ ด้วยบรรทัดฐาน $\|(x,y)\| = {\|x\|}_X + {\|y\|}_Y$. ดูที่พื้นที่ย่อย$U = \{(x,x): x \in X\cap Y\}$. แล้ว$X + Y$ isomorphic กับสเปซผลหาร $(X \oplus Y) / U$. นี่เป็นการพิสูจน์อย่างรวดเร็วว่า$X + Y$ การติดตั้งบรรทัดฐานข้างต้นเป็นช่องว่างของ Banach