จะได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องสำหรับอินทิกรัลนี้ได้อย่างไร?

Question

Wolfram | อัลฟาเป็นเท่าที่ผมรู้เพียงเว็บไซต์ที่ช่วยให้การแก้ปัญหาที่ถูกต้องในการนี้หนึ่ง ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ เนื่องจากได้รับฟังก์ชั่นที่ให้มาเราจึงได้รับฟังก์ชันดั้งเดิม

นี่คือวิธีแก้ปัญหา: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

อย่างไรก็ตามในวิดีโอนี้มีการให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องแม้ว่ากระบวนการรวมจะดูเหมือนถูกต้องก็ตาม ดังที่กล่าวมาข้างต้นคุณทราบว่าผลลัพธ์ไม่ถูกต้องเนื่องจากการรับฟังก์ชันผลลัพธ์ไม่ได้ส่งผลให้ฟังก์ชันดั้งเดิมที่เราต้องการรวม

ฉันต้องได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง แต่ฉันไม่รู้วิธี

Answer 1

ตามที่ Ninad ชี้ให้เห็นนี่เป็นวิธีแก้ปัญหาบางส่วนซึ่งเทียบเท่ากับกระบวนการที่ใช้ในวิดีโอซึ่งจะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $$\cos\frac t2$$ เป็นบวก

เริ่มต้นด้วยเอกลักษณ์นี้:

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ สำหรับการนำสิ่งนี้ไปใช้กับอินทิแกรนด์ให้ทำการแทนที่ก่อน $t = \sqrt x$จากนั้นใช้คุณสมบัตินี้อย่างต่อเนื่อง $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$