จะประเมินอินทิกรัลคู่บนพื้นผิวที่ไม่ปิดได้อย่างไร?

Aug 16 2020

ปล่อย $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ และปล่อยให้ $S$ เป็นพื้นผิว $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$. ถ้า$\hat{n}$ เป็นหน่วยปกติของ $S$ และ $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ แล้ว $\alpha=?$

เราไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทความแตกต่างของเกาส์ได้ที่นี่เนื่องจากพื้นผิว S ไม่ได้ปิด จะดำเนินการอย่างไรในคำถามนี้? กรุณาช่วย.

คำตอบ

3 NinadMunshi Aug 16 2020 at 10:51

สังเกตว่าขอบเขตของพื้นผิวคือเส้นโค้ง $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$ตามทฤษฎีบทของ Stokes หากสองพื้นผิวมีขอบเขตเดียวกันดังนั้นอินทิกรัลของขดบนพื้นผิวทั้งสองจะเหมือนกัน ได้แก่

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

โดยมีทั้งแบบขึ้นหรือลง

ทำไมสิ่งนี้ถึงทำให้ชีวิตง่ายขึ้น? สำหรับผู้เริ่มต้นจาโคเบียนระหว่าง$z=0$ เครื่องบินและตามปกติ $xy$ พิกัดคือ $1$ (จาโคเบียนของทุกสิ่งจากตัวมันเองคือ $1$) และเวกเตอร์ปกติชี้เฉพาะใน $z$ ทิศทางซึ่งหมายความว่าเราไม่จำเป็นต้องคำนวณทั้ง curl เพียง แต่ $z$ ส่วนประกอบซึ่งก็คือ

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

สิ่งนี้ทำให้เรามีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ เป็นฟังก์ชันแปลก ๆ ดังนั้นอินทิกรัลจะหายไปบนดิสก์โดย $x$สมมาตร. อินทิกรัลเดียวที่เหลือคือค่าคงที่ซึ่งทำให้เราได้พื้นที่ของเวลาพื้นผิวค่าคงที่:

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

ด้วยประการฉะนี้ $\alpha =2$