จำนวนคำที่มีสี่ตัวอักษรสามารถเกิดขึ้นได้หากแต่ละตัวอักษรสามารถใช้ได้สูงสุด $2$ ครั้ง?

Aug 17 2020

คุณมีตัวอักษรห้าตัว $A, B, C, D$ และ $E$. จำนวนคำที่มีสี่ตัวอักษรสามารถสร้างได้หากแต่ละตัวอักษรสามารถใช้ได้สูงสุด$2$ครั้ง? (ตัวอักษรปรากฏในคำ$0, 1$ หรือ $2$ ครั้ง)

ฉันเหนื่อย $5\cdot4\cdot3\cdot3$ แล้วคิดว่าสามารถจัดตำแหน่งได้ $4\cdot3\cdot2\cdot1$. อย่างไรก็ตามควรหารด้วย$2$ เพราะ $A~A~\_~\_$ และ $A~A~\_~\_$เป็นผลลัพธ์เดียวกัน แต่คำตอบที่ฉันได้ไม่ถูกต้อง คำตอบที่ถูกต้องตามหลักคือ$540$.

คำตอบ

2 TheSilverDoe Aug 16 2020 at 22:27

ด้วย $5$ ตัวอักษรคุณสามารถทำ $5^4$ คำสี่ตัวอักษร

แต่ในบรรดาคำเหล่านี้

  • มีตัวอักษรที่มีตัวอักษรหนึ่งตัวซึ่งซ้ำกันสี่ครั้ง (เห็นได้ชัดว่า $5$ คำดังกล่าว);
  • และมีคำที่มีตัวอักษรซ้ำสามครั้ง มี$5 \times 4 \times 4$ คำดังกล่าว (คุณต้องเลือกตัวอักษรสามตัว - $5$ ความเป็นไปได้จดหมายอีกฉบับ - $4$ เหลือความเป็นไปได้และในที่สุดก็เป็นที่ของจดหมายอีกฉบับ - $4$ ความเป็นไปได้).

ดังนั้นจำนวนคำทั้งหมดที่คุณต้องการนับคือ $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$

1 SarGe Aug 16 2020 at 22:29

มีสามกรณีที่เป็นไปได้

1. ตัวอักษรทั้งหมดมีความชัดเจน

ชอบ ($A, B, C, D$). กำลังเลือก$4$ ตัวอักษรออกมา $5$ และจัดเตรียมให้ $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ วิธี

2. สองความแตกต่างและสองเหมือนกัน

(ชอบ $A,B,C,C$). กำลังเลือก$3$ ตัวอักษรออกมา $5$ และเลือกอีกครั้งจากสิ่งเหล่านั้น $3$ ตัวอักษรเป็นตัวอักษรตัวที่สี่และจัดเรียง: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ วิธี

3. มีเพียงสองตัวอักษรที่แตกต่างกัน

(ชอบ $A,A,C,C$). กำลังเลือก$2$ ตัวอักษรออกมา $5$ ตัวอักษรและการจัดเรียงให้ $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ วิธี

การเพิ่มสิ่งเหล่านี้ทำให้เรา $540$.