จำนวนคำที่มีสี่ตัวอักษรสามารถเกิดขึ้นได้หากแต่ละตัวอักษรสามารถใช้ได้สูงสุด $2$ ครั้ง?
คุณมีตัวอักษรห้าตัว $A, B, C, D$ และ $E$. จำนวนคำที่มีสี่ตัวอักษรสามารถสร้างได้หากแต่ละตัวอักษรสามารถใช้ได้สูงสุด$2$ครั้ง? (ตัวอักษรปรากฏในคำ$0, 1$ หรือ $2$ ครั้ง)
ฉันเหนื่อย $5\cdot4\cdot3\cdot3$ แล้วคิดว่าสามารถจัดตำแหน่งได้ $4\cdot3\cdot2\cdot1$. อย่างไรก็ตามควรหารด้วย$2$ เพราะ $A~A~\_~\_$ และ $A~A~\_~\_$เป็นผลลัพธ์เดียวกัน แต่คำตอบที่ฉันได้ไม่ถูกต้อง คำตอบที่ถูกต้องตามหลักคือ$540$.
คำตอบ
ด้วย $5$ ตัวอักษรคุณสามารถทำ $5^4$ คำสี่ตัวอักษร
แต่ในบรรดาคำเหล่านี้
- มีตัวอักษรที่มีตัวอักษรหนึ่งตัวซึ่งซ้ำกันสี่ครั้ง (เห็นได้ชัดว่า $5$ คำดังกล่าว);
- และมีคำที่มีตัวอักษรซ้ำสามครั้ง มี$5 \times 4 \times 4$ คำดังกล่าว (คุณต้องเลือกตัวอักษรสามตัว - $5$ ความเป็นไปได้จดหมายอีกฉบับ - $4$ เหลือความเป็นไปได้และในที่สุดก็เป็นที่ของจดหมายอีกฉบับ - $4$ ความเป็นไปได้).
ดังนั้นจำนวนคำทั้งหมดที่คุณต้องการนับคือ $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$
มีสามกรณีที่เป็นไปได้
1. ตัวอักษรทั้งหมดมีความชัดเจน
ชอบ ($A, B, C, D$). กำลังเลือก$4$ ตัวอักษรออกมา $5$ และจัดเตรียมให้ $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ วิธี
2. สองความแตกต่างและสองเหมือนกัน
(ชอบ $A,B,C,C$). กำลังเลือก$3$ ตัวอักษรออกมา $5$ และเลือกอีกครั้งจากสิ่งเหล่านั้น $3$ ตัวอักษรเป็นตัวอักษรตัวที่สี่และจัดเรียง: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ วิธี
3. มีเพียงสองตัวอักษรที่แตกต่างกัน
(ชอบ $A,A,C,C$). กำลังเลือก$2$ ตัวอักษรออกมา $5$ ตัวอักษรและการจัดเรียงให้ $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ วิธี
การเพิ่มสิ่งเหล่านี้ทำให้เรา $540$.