ฟังก์ชันความหนาแน่นของมวล: ความหนาแน่นของมวลที่จุดเป็นอย่างไร?
เรามักพูดถึงความหนาแน่นของมวลความหนาแน่นของประจุและฟังก์ชันอื่น ๆ ดังต่อไปนี้: $\rho(x,y)$ สำหรับแผ่นบางพิเศษและ $\rho(x,y,z)$สำหรับวัตถุ 3 มิติ หน่วยสำหรับเอาต์พุตของฟังก์ชันเหล่านี้บอกว่ามวลหรือประจุ / ปริมาตรหน่วยเช่น$\frac{kg}{m^3}$ หรือ $\frac{C}{m^3}$. ฉันไม่สามารถเข้าใจความหนาแน่นได้ที่จุดเดียว
ฉันสงสัยว่าเมื่อเราพูดว่ามวลต่อหน่วยปริมาตร "ณ จุดหนึ่ง" เราหมายถึงมวลที่มีอยู่ในปริมาตรทันทีรอบ ๆ จุด ในที่นี้เราพูดว่า "ทันทีรอบ ๆ " ในความหมายของแคลคูลัสเพื่อให้ปริมาตรเข้าใกล้ศูนย์ วิธีนี้ชุดของจุดทั้งหมดรวมกันยังคงเป็นวัตถุเต็ม
ถูกต้องหรือไม่ หรือฉันพลาดเครื่องหมาย?
คำตอบ
เมื่อเราบอกว่าความหนาแน่นของมวลคือ $\rho(x,y,z)$เราหมายถึงมวลภายในพื้นที่ จำกัด ใด ๆ $R$ ให้โดย $$ M(R) = \int_R \rho(x,y,z)\ dx\,dy\,dz. $$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการระบุความหนาแน่นของมวล $\rho(x,y,z)$ เป็นวิธีที่กระชับในการอธิบายฟังก์ชันที่ใช้พื้นที่ $R$ เป็นอินพุตและส่งกลับมวล $M(R)$ ในภูมิภาคนั้นเป็นผลลัพธ์
ศาสนา $R$อาจมีขนาดเล็กตามอำเภอใจดังนั้นสัญชาตญาณของคุณจึงมาถูกทางแล้ว ถ้าเราใช้$R$เป็นจุดแล้วมวล$M(R)$ เป็นศูนย์ไม่ว่าความหนาแน่นของมวลจะมากเพียงใด (ตราบเท่าที่มัน จำกัด )
สาร (ที่ประกอบเป็นมวล) ไม่ต่อเนื่อง เรามีโมเลกุลอะตอมอนุภาคที่เล็กกว่า ฯลฯ ...
มีคำใบ้ว่าช่องว่างนั้นไม่ต่อเนื่องเช่นกัน (ดูเกี่ยวกับความยาวพลังค์) แต่เราไม่รู้แน่ชัด
จากนั้นอีกครั้งบางครั้ง (เกือบตลอดเวลาในความเป็นจริง) มันมีประโยชน์ในการประมาณสารให้เรียบและเป็นเนื้อเดียวกันบนเกล็ดขนาดเล็กพอและใช้ aparatus แคลคูลัสทั้งหมดที่เรามีอยู่ซึ่งใช้จำนวนจริง
นั่นคือความหนาแน่นกลายเป็นสนามสเกลาร์
โดยพื้นฐานแล้วคุณถูกต้อง มวลที่มีอยู่ในจุด (เมื่อเราพูดถึงวัสดุต่อเนื่อง) เป็นศูนย์
อย่างไรก็ตามเราสามารถใช้ความยาวพื้นที่หรือปริมาตรเพียงเล็กน้อยอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้ว่า$dx$, $dA$, หรือ $dV$ เข้าใกล้ศูนย์ สิ่งเหล่านี้เรียกว่าองค์ประกอบความยาวพื้นที่หรือปริมาตร ในการหามวลทั้งหมดเราจะต้องสรุปผลคูณทั้งหมดของความหนาแน่นของมวลขนาดเล็กที่มีความยาวพื้นที่หรือปริมาตรทุกจุดในมวลในกรณี 1-, 2- หรือ 3 มิติ ผลรวมนี้กลายเป็นส่วนหนึ่งของผลคูณของความหนาแน่น$\rho$ ด้วยสามองค์ประกอบที่แตกต่างกัน (สมมติว่า $\rho$ ไม่ขึ้นกับตำแหน่งใน $x$, $A$, หรือ $V$):
$$m_{tot}=\int _x\rho dx,$$
สำหรับมวลบนเส้น
$$m_{tot}=\int _A\rho dA,$$
สำหรับมวลบนพื้นผิวและ
$$m_{tot}=\int _V\rho dV,$$
สำหรับมวลในปริมาตร
ถ้าความหนาแน่นของมวลขึ้นอยู่กับตำแหน่งในมวลให้แทนที่ $\rho$ โดย $\rho (x)$, $\rho (A)$และ $\rho (V)$.
ความหนาแน่นของมวล ณ จุดหนึ่งกำหนดได้สองวิธี:
- ขีดจำกัดความหนาแน่นของมวลเฉลี่ยในปริมาตรที่มีจุดเมื่อปริมาตรลดลงเป็นศูนย์และ
- เป็นสนามที่รวมเข้าด้วยกันเพื่อให้มวล
การทำความเข้าใจว่าคำจำกัดความทั้งสองนี้เหมือนกันอย่างไรและเมื่อใดต้องใช้ทฤษฎีการวัดซึ่งในเวลานั้นคุณจะได้เรียนรู้ว่าคำจำกัดความทั้งสองนี้ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน
ตัวอย่างวิธีที่พวกเขาเหมือนกัน สมมติว่าความหนาแน่นมวล (สนาม) เป็นค่าคงที่$1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$ในแต่ละจุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ปล่อย$x$เป็นประเด็น ให้เราคำนวณขีด จำกัด ของ (เพื่อความเรียบง่าย) ความหนาแน่นเฉลี่ยของปริมาตรทรงกลมสำหรับทรงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่$x$. ปล่อย$r$ เป็นรัศมีใน $\mathrm{cm}$. ปริมาณ$V$และมวล $m$คือ \begin{align*} V(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ m(r) &= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}} 1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \text{.} \end{align*}
(หน่วยที่ชัดเจนอาจทำให้มวลนี้ดูเหมือนความหนาแน่นจำได้ว่า "$r$"ใน"$r^3$"มีหน่วยระยะทางซึ่งยกเลิกหน่วยระยะทางในตัวส่วนของหน่วยที่ชัดเจน)
จากนั้นความหนาแน่นของมวลที่ $x$ คือ $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 1 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$. สังเกตว่าเราต้องใช้ขีด จำกัด เป็น$r \rightarrow 0$. เราไม่สามารถประเมินอัตราส่วนของมวลต่อปริมาตรได้ที่$r = 0$เนื่องจากเกี่ยวข้องกับการหารด้วยศูนย์ ตอนนี้กราฟของฟังก์ชันที่เรา จำกัด ไว้ จากการยกเลิกพีชคณิต (อนุญาตภายใต้ขีด จำกัด แต่ไม่เกินขีด จำกัด นี้) เราคาดว่าจะเห็นฟังก์ชันคงที่

ประเด็น $(0,1)$ถูกละไว้เนื่องจากไม่ได้กำหนดการหารด้วยศูนย์ เพื่อแอบดูมูลค่าที่นั่นเราใช้ขีด จำกัด โปรดทราบว่าหากฟิลด์ความหนาแน่นแตกต่างกัน (ความผันผวนเล็กน้อยรอบ ๆ ความหนาแน่นเฉลี่ยและ / หรือแนวโน้มที่จะมีความหนาแน่นสูงขึ้นหรือต่ำลง$x$) เราจะเห็นรูปแบบเหล่านี้ในเส้นโค้ง โมเดลที่เรียบง่ายมากนี้ไม่มีคุณสมบัติดังกล่าว
ฉันจะเพิ่มมุมมองอื่นเนื่องจากคำถามดูเหมือนว่าเป็นสิ่งที่ก้าวหน้าอย่างมากหรือสิ่งที่เกิดขึ้นในสาขาฟิสิกส์เท่านั้น: สิ่งที่คุณกำลังถามนั้นคล้ายกับความขัดแย้งของลูกศรของ Zeno:https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#Arrow_paradox
โดยทั่วไปฉันแน่ใจว่าคุณคุ้นเคยกับตราสารอนุพันธ์ แต่ไม่เข้าใจง่ายเมื่อนำไปใช้กับปริมาณที่กำหนด แน่นอนเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาบางΔ เสื้อและเหตุผลว่าเมื่อการ จำกัด ระยะเวลาต่อทันทีเดียวของเวลาที่เราจะได้รับความเร็วในทันทีในขณะที่กำหนด - ปริมาณที่มีประโยชน์ที่เราทราบว่าเป็นที่ดีที่กำหนด
"แต่เพื่อให้มีความเร็วคุณต้องเดินทางและคุณจะเดินทางไม่ได้ถ้าเวลาไม่ผ่านไป!" ใช่มันเป็นข้อตกลงเดียวกันกับการไม่มีความหนาแน่น "ทันที" ที่ใช้งานง่าย (dm / dV) หากคุณมองไปที่จุดหนึ่งของมวล แต่อย่างไรก็ตามเราทำงานกับอนุพันธ์และมันก็ได้ผล :)