ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีอนุพันธ์ dini บนมากกว่า 0 หมายถึงฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น
ปล่อย $f$ ต่อเนื่อง $[a,b]$ ด้วย $\bar D f \geq 0$ (อนุพันธ์ Dini บนของ $f$) บน $(a,b)$. แสดงว่า$f$ เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ $[a,b]$. คำแนะนำ: แสดงว่านี่เป็นเรื่องจริงสำหรับ$g$ ด้วย $\bar D g \geq \epsilon > 0$ บน $[a,b]$. ใช้สิ่งนี้กับฟังก์ชัน$g(x) = f(x) + \epsilon x$.
นี่เป็นคำถามที่ 19 จากบทที่ 6.2 ของ Royden-Fitzpatrick Analysis 4th edition
แนวทางของฉันมีดังนี้
- $g$ มีความต่อเนื่องเนื่องจากเป็นการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันต่อเนื่อง 2 ฟังก์ชัน
- $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ ซึ่งหมายความว่า $g$ เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด $(a,b)$.
- $f = g - \epsilon x$ และ $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ หมายถึง $f$ กำลังเพิ่มขึ้น (ไม่ลดลง) บน $(a,b)$.
มันเข้าท่าไหม? ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือ คำถามยังเกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นต่อเนื่องบน$[a, b]$ โดยมีอนุพันธ์ด้านบนและด้านล่างบน $(a, b)$ คือ Lipschitz
คำตอบ
คุณรู้ได้อย่างไร $2$ถือ? อันที่จริงนี่เป็นส่วนสำคัญของการพิสูจน์เว้นแต่ว่าฉันจะอ่านคำถามของคุณผิดคุณต้องทำงานสักหน่อย (การวาดภาพจะช่วยได้!) ก่อนอื่นสมมติว่า$\bar D f >0$ บน $(a,b)$. ถ้ามี$a<c<d<b$ ดังนั้น $f(c)>f(d)$ จากนั้นเราอาจเลือก $f(c)>\mu>f(d)$. ปล่อย$S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ และพิจารณา $\xi=\sup S.$ โปรดทราบว่า $c<\xi<d$. ใช้ลำดับที่เพิ่มขึ้น$(t_n)\subseteq (c,d)$ ดังนั้น $t_n\to \xi.$ จากนั้น $f(t_n)\to f(\xi)$. ถ้า$f(\xi)\neq \mu$ แล้วมี $\mu<\alpha<f(\xi)$. ความต่อเนื่องของ$f$ ตอนนี้หมายความว่ามีช่วงเวลา $I=(\xi,\xi+\delta)$ ดังนั้น $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$. แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับคำจำกัดความของ$\xi.$ ด้วยประการฉะนี้ $f(\xi)= \mu.$
เราได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละ $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$และเราสรุปได้ว่า $ D^+ f(\xi)\le 0$ซึ่งเป็นความขัดแย้ง ดังนั้นการอ้างสิทธิ์จึงเป็นจริงสำหรับความไม่เท่าเทียมที่เข้มงวดและ$now$ เรากำหนด $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$. ก็เป็นไปตามนั้น$\bar D g_{\epsilon} >0$ บน $(a,b)$ ดังนั้น $g_{\epsilon}$ ไม่ลดลงที่นั่นและเป็น $\epsilon$ เป็นไปตามอำเภอใจ $f$ ยังไม่ลดลง