การจับคู่พื้นที่พิกัดจริงกับตัวเลขไฮเปอร์เรียลในขณะที่ยังคงรักษา "ลำดับศัพท์"
มาพร้อมกับฟังก์ชัน $f:X^n \rightarrow \mathbb{R}$ ที่ไหน $X$ เป็นชุดจำนวนเต็มจำนวน จำกัด เพื่อให้คำสั่งทางศัพท์ถูกเก็บรักษาไว้ตรงไปตรงมา:
$$f(x_1, x_2, \ldots ,x_{n-1}, x_n)=\sum_{i=1}^{n}{x_i (\max(X))^{n-i}}$$
เป็นไปได้ไหมที่จะมีฟังก์ชันที่คล้ายกัน แต่เป็นฟังก์ชันที่แมปพื้นที่พิกัดจริงกับจำนวนไฮเปอร์เรียลในขณะที่รักษา "ลำดับศัพท์" ($g:\mathbb{R}^n \rightarrow {}^*\mathbb{R}$)? ฉันถามเกี่ยวกับจำนวนไฮเปอร์เรียลเพราะมันเป็นไปไม่ได้ในกรณีของจำนวนจริง (Debreu, G. (1954) การแทนค่าตามลำดับโดยฟังก์ชันตัวเลขกระบวนการตัดสินใจ, 3 , 159-165) นอกจากนี้ฉันพูดว่า " ลำดับคำศัพท์ "ด้วยเครื่องหมายคำพูดเพราะในทางเทคนิคคำสั่งของพจนานุกรม (ตามความเข้าใจของฉัน) เป็นการจัดลำดับขององค์ประกอบของเซตที่ จำกัดแต่ดูเหมือนจะไม่มีเหตุผลที่จะขยายแนวคิดให้รวมลำดับองค์ประกอบของเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดเช่น$$(x_1, x_2, \dots ,x_{n-1}, x_n) \leq(y_1, y_2, \ldots ,y_{n-1}, y_n) \iff (x_1<y_1) \lor ((x_1=y_1) \land ((x_2<y_2) \lor \ldots ))$$
สิ่งที่ต้องการทำงานต่อไปนี้?
$$g(x_1, x_2, \ldots ,x_{n-1}, x_n)=\sum_{i=1}^{n}{x_i \omega^{n-i}}$$
คำตอบ
ความเข้าใจของคุณถูกต้อง ได้รับสองชุดที่สั่งซื้อบางส่วน$(A, <_A)$ และ $(B, <_B)$ เราสามารถกำหนดลำดับคำศัพท์บนผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนได้เสมอ $A \times B$ โดย $$(a_1, b_1) \leq_{\text{lex}} (a_2, b_2) \iff a_1 <_A a_2 \text{ or } (a_1 = a_2 \text{ and } b_1 <_B b_2);$$ สิ่งนี้ขยายไปสู่ผลิตภัณฑ์ที่ จำกัด และไม่มีที่สิ้นสุดของชุดที่สั่งซื้อบางส่วนแม้ว่าในกรณีของผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด $\leq_{\text{lex}}$ ทำงานแตกต่างกันเล็กน้อย (กล่าวคือมันไม่ได้เป็นระเบียบ)
ฟังก์ชั่น $g: \mathbb R^n \to {}^*\mathbb R$ที่คุณกำหนดได้ผลจริง นี่คือรายละเอียด
ปล่อย $\mathcal U$ เป็น Ultrafilter ที่ไม่ใช่ตัวกรองหลัก $\mathbb N$, ดังนั้น ${}^* \mathbb R = \mathbb R^{\mathbb N} / \mathcal U$; โปรดทราบว่าตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา$\mathcal U$ไม่ใช่หลัก แต่มีตัวกรองFréchetดังนั้นชุดโคฟินิททั้งหมดของ$\mathbb N$ อยู่ใน $\mathcal U$. ตลอดถ้า$(a_n) \in \mathbb R^{\mathbb N}$ เราแสดงถึงคลาสความเท่าเทียมกันใน ${}^* \mathbb R$ โดย $[(a_n)]$. นอกจากนี้โปรดจำไว้ว่าตัวเลขมาตรฐาน$r$ ใน ${}^*\mathbb R$ กำหนดโดยคลาสความเท่าเทียมกันของลำดับคงที่ $(r, r, r, \dots)$และถ้า $[(a_n)], [(b_n)] \in {}^*\mathbb R$แล้ว $$[(a_n)] < [(b_n)] \iff \{n \in \mathbb N: a_n < b_n \} \in \mathcal U. \tag {$\กริช$}$$
ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่าสำหรับทุกคน $n \in \mathbb N$ ถ้า $(x_1,x_2, \dots, x_n) \leq_{\text{lex}} (y_1, y_2, \dots, y_n)$ ใน $\mathbb R^n$แล้ว $g(x_1, x_2, \dots, x_n) \leq g(y_1, y_2, \dots, y_n)$ ใน ${}^*\mathbb R$. เราทำได้โดยการเหนี่ยวนำที่แข็งแกร่ง$n$; กรณี$n=1$ เป็นเรื่องเล็กน้อยดังนั้นสมมติว่ามี $ k \in \mathbb N^{>1}$ ดังนั้นผลลัพธ์จึงมีผลสำหรับทุกคน $n \leq k$ และสมมติว่า $(x_1, x_2 \dots, x_{k}, x_{k+1}) \leq_{\text{lex}} (y_1, y_2, \dots, y_k, y_{k+1})$. เรามีสองกรณีหลัก:
- $\underline{x_1 < y_1}$. เราจะแสดงให้ทุกคนเห็น$x_2, x_3, \dots, x_k, x_{k+1}, y_2, y_3, \dots, y_k, y_{k+1} \in \mathbb R$เรามีสิ่งนั้น $$x_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq y_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i}. \tag{$\ดาว$}$$ สมมติว่าไม่ขัดแย้งเพื่อให้มีอยู่ $x_2, x_3, \dots, x_k, x_{k+1}, y_2, y_3, \dots, y_k, y_{k+1} \in \mathbb R$ ดังนั้น $$y_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i} < x_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i}.\tag{$\ ast$}$$ ตั้งแต่ $\omega = [(1,2,3, \dots)] = [(n)]$โดย $(\dagger)$ เรามีสิ่งนั้น $(\ast)$ เทียบเท่ากับคำสั่งที่กำหนด \begin{align} S &= \Bigg\{ n \in \mathbb N : y_1n^k + y_2n^{k-1} + \dots + y_{k+1}n^0 < x_1n^k + x_2n^{k-1} + \dots + x_{k+1}n^0 \Bigg\} \\ &= \Bigg\{ n \in \mathbb N: (y_1-x_1)n^k < (x_2-y_2)n^{k-1} + \dots + (x_{k+1} -y_{k+1} )n^0 \Bigg\} \\ &= \Bigg\{ n \in \mathbb N: (y_1 -x_1)n^k < \sum_{i=2}^{k+1}(x_i-y_i)n^{k+1-i}\Bigg\}\end{align} อยู่ในตัวกรองพิเศษของเรา $\mathcal U$. ในทางกลับกันโปรดทราบว่าตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา$x_1 < y_1$เรามีสิ่งนั้น $0 < (y_1 -x_1) n^k$ เพื่อทุกสิ่ง $n \in \mathbb N$, ดังนั้น $(y_1 -x_1)n^k$ ในฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดใน $n$. โดยเฉพาะมีอยู่$N \in \mathbb N$ เช่นนั้นสำหรับทุกคน $n \geq N$ เรามี $(y_1-x_1)n^k \geq \sum_{i=2}^{k+1}(x_i-y_i)n^{k+1-i}$; ดังนั้นชุด$$S' = \Bigg\{n\in \mathbb N : (y_1-x_1)n^k \geq \sum_{i=1}^{k+1}(x_i-y_1)n^{k+1-i}\Bigg\} $$ คือ cofinite ดังนั้น $S' \in \mathcal U$. อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่า$S' = S \backslash \mathbb N$เราจึงมีสิ่งนั้น $S \in \mathcal U$ และ $S \backslash \mathbb N \in \mathcal U$ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า $\mathcal U$เป็นอัลตราฟิลเตอร์ ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงเป็นเท็จและ$(\star)$ ดังต่อไปนี้ตามความจำเป็น
- $\underline{x_1 = y_1 \text{ and } x_2 < y_2}$. ตั้งแต่$x_1 = y_1$แสดงว่า $$x_1\omega^k +\sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq y_1\omega^k +\sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i} $$ ลดความซับซ้อนในการแสดงสิ่งนั้น $$\sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i}.\tag{$\ ddagger$}$$ กำหนดตอนนี้ $(x'_1, x'_2, \dots, x'_k) = (x_2, x_3, \dots, x_{k+1})$ และ $(y'_1, y'_2, \dots, y'_{k}) = (y_2, y_3, \dots, y_{k+1})$. ตั้งแต่$x_2 < y_2$เรามีสิ่งนั้น $x'_1 <y'_1$ดังนั้น $(x'_1, x'_2, \dots, x'_k) \leq_{\text{lex}} (y'_1, y'_2, \dots, y'_{k})$ ตามความหมายของ $\leq_{\text{lex}}$และยิ่งไปกว่านั้น $(\ddagger)$ กลายเป็น $$\sum_{i=1}^{k}x'_i\omega^{k-i} \leq \sum_{i=1}^{k}y'_i\omega^{k-i};\tag{$\ ดาว \ ดาว$}$$ โดยสมมติฐานอุปนัยของเรา $(\star\star)$ ถือดังนั้นก็เช่นกัน $(\ddagger)$ และเราทำเสร็จแล้ว
กรณีอื่น ๆ (พูด $x_1 = y_1$, $x_2= y_2$ และ $x_3 < y_3$) ทำตามอาร์กิวเมนต์เดียวกันกับในประเด็นด้านบนโดยใช้สมมติฐานการเหนี่ยวนำที่แข็งแกร่ง