การใช้จำนวนเชิงซ้อนเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของนโปเลียน

Question

ปล่อย $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมและสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ด้านข้าง $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ ด้านนอกของ $ABC$ กับศูนย์ $O_A$, $O_B$, $O_C$. พิสูจน์ว่า$\bigtriangleup O_AO_BO_C$ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและจุดศูนย์กลางตรงกับจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม $ABC$

ฉันได้เห็นคำตอบนี้แล้วการพิสูจน์ทฤษฎีบทของนโปเลียนด้วยจำนวนเชิงซ้อนแต่ข้อสงสัยของฉันต่างออกไป

ตอนนี้ในคำตอบนี้ https://artofproblemsolving.com/community/c618937h1650553_proposition_634_napoleons_theorem ($5$โพสต์)

พวกเขาเขียน -

$O_AC$ คือ $\frac\pi6$ การหมุนของ $BC$ ตามด้วยการขยายด้วยอัตราส่วน $\frac1{\sqrt3}$ ที่ $C,$ ดังนั้นเราจึงมี

$\begin{align*} \frac{o_A-c}{b-c}&=\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3+i}{2}\end{align*}$ แต่ฉันไม่เข้าใจเรื่องนี้ใครช่วยอธิบายขั้นตอนนี้ได้ไหม

หมายเหตุ - ฉันได้แก้ไขปัญหานี้แล้วโดยใช้การไล่มุมอย่างง่าย แต่ฉันต้องการเข้าใจอย่างถูกต้องว่าพวกเขามีพิกัดอย่างไร$O_A$

ขอบคุณ

Answer 1

ตั้งแต่ $O_A$ คือจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มี $BC$ เป็นด้านใดด้านหนึ่งแล้ว $\angle O_ABC=\frac{\pi}{6}$. นอกจากนี้$\triangle O_ABC$ เป็นหน้าจั่วด้วย $\angle O_ABC=\angle O_ACB=\frac{\pi}{6}$.

หวังว่าคุณจะสามารถบอกเป็นนัย ๆ ว่าส่วนที่เหลือจากสิ่งเหล่านี้