การหาปริมาณทดแทนในทฤษฎีเซต

Aug 19 2020

มีสูตรยูนารี $\phi$ ในภาษาของทฤษฎีเซตที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

(ผม) $ZFC \vdash (\exists x)\phi(x)$

(ii) สำหรับแต่ละสูตรยูนารี $\psi$ ในภาษาของทฤษฎีเซตซึ่ง $ZFC \vdash (\exists! x)\psi(x)$, เรามี $ZFC \vdash (\forall x)(\psi(x) \rightarrow \neg \phi(x))$

คำตอบ

4 AndrésE.Caicedo Aug 19 2020 at 13:29

ไม่ไม่มีสูตรดังกล่าว เหตุผลก็คือใน$L$จักรวาลที่สร้างได้มีการจัดลำดับที่ดีแน่นอน $<_L$ของจักรวาล ดังนั้นสำหรับสูตรใด ๆ$\phi$ ดังนั้น $L\models\exists x\,\phi(x)$มีสูตร $\psi_\phi$ ดังนั้น $L\models\exists!x\,\psi_\phi(x)$ และ $L\models\forall x\,(\psi_\phi(x)\to\phi(x))$กล่าวคือ $\psi_\phi(x)$ ระบุว่า $x$ คือ $<_L$- พยานครั้งแรกที่ $\phi$.

แทนที่ทฤษฎีของคุณด้วย $\mathsf{ZFC}+V\ne L$ ไม่ได้ช่วยเช่นกันเนื่องจากเราสามารถใช้คลาสบังคับให้ทำ $V=HOD$ซึ่งเป็นชั้นขององค์ประกอบที่กำหนดได้ตามปกติทางพันธุกรรมซึ่งในกรณีนี้เราจะมีการจัดลำดับที่ดีของจักรวาลอีกครั้ง

ในทางกลับกันมีความสอดคล้องกันว่ามีสูตรตามที่คุณแนะนำอยู่ ไม่สามารถพิสูจน์ได้แน่นอนตามที่ระบุไว้ แต่บางรุ่น$M$ ตรงตามเวอร์ชันของ (i) และ (ii) ในโพสต์ของคุณด้วย "$\mathsf{ZFC}\vdash$"แทนที่ด้วย"$M\models$". คือปล่อย $g$ เป็นโคเฮนตัวจริงมากกว่า $L$และพิจารณา $M=L[g]$ และ $\phi(x)$ ข้อความว่า $x$ เป็น Cohen-generic มากกว่า $L$.