การไหลที่เกิดจากสนามความเร็วที่แตกต่างกันนั้นแตกต่างกันได้
ปล่อย $E$ เป็น $\mathbb R$- บานาชสเปซ $\tau>0$ และ $v:[0,\tau]\times E\to E$ ดังนั้น$^1$ $$x\mapsto t\mapsto v(t,x)\tag1$$ เป็นของ $C^{0,\:1}(E,C^0([0,\tau],E))$. แค่นี้ก็เพียงพอแล้วที่จะมั่นใจได้ว่ามีเอกลักษณ์$X^x\in C^0([0,\tau],E)$ ด้วย $$X^x(t)=x+\int_0^tv(s,X^x(s))\:{\rm d}s\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag2$$ สำหรับทุกอย่าง $x\in E$. ตอนนี้ถือว่า$$v(t,\;\cdot\;)\in C^1(E,E)\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag3$$ และ ${\rm D}_2v$คือ (ร่วมกัน) ต่อเนื่อง อีกครั้งก็เพียงพอที่จะมั่นใจได้ว่ามีเอกลักษณ์$Y^x\in C^0([0,\tau],\mathfrak L(E))$ ด้วย $$Y^x(t)=\operatorname{id}_E+\int_0^tw_x(s,Y^x(s))\:{\rm d}s\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau],$$ ที่ไหน$^2$ $$w_x(t,A):={\rm D}_2v(t,X^x(t))A\;\;\;\text{for }(t,A)\in[0,\tau]\times\mathfrak L(E),$$ สำหรับทุกอย่าง $x\in E$.
ฉันอยากจะแสดงให้เห็นว่า $$E\to C^0([0,\tau],E)\;,\;\;\;x\mapsto X^x$$ Fréchetแตกต่างกันอย่างไรและอนุพันธ์ที่ $x$ ให้โดย $Y^x$ สำหรับทุกอย่าง $x\in E$.
ฉันสามารถแสดงการอ้างสิทธิ์นี้โดยสมมติว่าเป็นเช่นนั้นเท่านั้น $v(t,\;\cdot\;)\in C^2([0,\tau],E)$ และ ${\rm D}_2^2v$ คือ (ร่วมกัน) ต่อเนื่องเช่นกันตั้งแต่นั้นทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ก็ใช้ได้
สำหรับกรณีทั่วไป: $x,h\in E$และ\ begin {สมการ} \ begin {split} Z (t) &: = X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) -Y ^ x (t) h \\ & = \ int_0 ^ ทีวี \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right) - {\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \: {\ rm d} s \ end {split} \ tag5 \ end {สมการ}สำหรับ$t\in[0,\tau]$. เราอาจเขียน\ begin {สมการ} \ begin {split} & v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right) - { \ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; = v \ left ( s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right) \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; - {\ rm D} _2v \ ซ้าย (s, X ^ x (s) \ right) \ left (X ^ {x + h} (s) -X ^ x (s) \ right) \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; + {\ rm D } _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Z (s) \ end {split} \ tag6 \ end {equation}สำหรับทั้งหมด$s\in[0,\tau]$. ปล่อย$$c_x:=\sup_{t\in[0,\:\tau]}\left\|{\rm D}_2v\left(X^x(t)\right)\right\|_{\mathfrak L(E)}<\infty\tag7$$ และ $c_1$ แสดงค่าคงที่ Lipschitz ของ $v$. จากนั้น\ start {สมการ} \ begin {split} \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ left \ | \ left (X ^ {x + h} -X ^ x \ right) '(s ) \ right \ | _E & = \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s , X ^ x (s) \ right) \ right \ | _E \\ & \ le c_1 \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ left \ | \ left (X ^ {x + h} - X ^ x \ right) (s) \ right \ | _E \ le c_1e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E \ end {split} \ tag8 \ end {สมการ}สำหรับทุกคน$t\in[0,\tau]$. ตอนนี้ปัญหาคือการหาขอบเขตที่เหมาะสมสำหรับ$v\left(s,X^{x+h}(s)\right)-v\left(s,X^x(s)\right)-{\rm D}_2v\left(s,X^x(s)\right)Y^x(s)h$. เห็นได้ชัดว่า\ start {สมการ} \ begin {split} & \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right) - {\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \ right \ | _E \ \ & \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ max (c, c_1) e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E + c \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ left \ | Z (s) \ right \ | _E \ end {split} \ tag9 \ end {equation}สำหรับทั้งหมด$t\in[0,\tau]$.
แนวทางทั่วไปคือการเรียกใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Gronwall แต่การประมาณการ$(9)$ อ่อนแอเกินไปที่จะสรุปความแตกต่างของFréchetจากมันเนื่องจากทางด้านขวามือเราจำเป็นต้องมี $\left\|h\right\|_E^2$ แทน $\left\|h\right\|_E$ (ซึ่งเป็นกรณีตามทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ถ้าเราถือว่าความแตกต่างดังกล่าวข้างต้นเป็นสองเท่า)
เราสามารถทำอะไรบางอย่างเพื่อแก้ไขปัญหานี้ได้หรือไม่?
$^1$ ดังนั้น, $v$ เป็น Lipschitz ต่อเนื่องกับอาร์กิวเมนต์ที่สองเหมือนกันกับอาร์กิวเมนต์แรกมีการเติบโตเชิงเส้นมากที่สุดเมื่อเทียบกับอาร์กิวเมนต์ที่สองอย่างสม่ำเสมอเมื่อเทียบกับอาร์กิวเมนต์แรกและเป็น (ร่วมกัน) ต่อเนื่อง
$^2$ สำหรับทุกๆ $x\in E$, $w_x$ มีคุณสมบัติ Lipschitz และการเจริญเติบโตเชิงเส้นเช่นเดียวกับ $v$.
คำตอบ
ปล่อย $$\left\|f\right\|_t^\ast:=\sup_{s\in[0,\:t]}\left\|f(s)\right\|_E\;\;\;\text{for }f:[0,\tau]\to E\text{ and }t\in[0,\tau],$$ $c_1\ge0$ ด้วย $$\left\|v(\;\cdot\;,x)-v(\;\cdot\;,y)\right\|_\tau^\ast\le c_1\left\|x-y\right\|_E\tag{10}$$ และ $$T_t(x):=X^x(t)\;\;\;\text{for }(t,x)\in[0,\tau]\times E.$$
เราต้องการผลลัพธ์ที่ง่ายต่อการตรวจสอบดังต่อไปนี้:
- $T_t$ เป็นอคติสำหรับทุกคน $t\in[0,\tau]$, $$[0,\tau]\ni t\mapsto T_t^{-1}(x)\tag{11}$$ เป็นไปอย่างต่อเนื่องสำหรับทุกคน $x\in E$ และ $$\sup_{t\in[0,\:\tau]}\left\|T_t^{-1}(x)-T_t^{-1}(y)\right\|_E\le e^{c_1}\tau\left\|x-y\right\|_E\tag{12}.$$
- $$[0,\tau]\times E\ni(t,x)\mapsto T_t(x)\tag{13}$$ คือ (ร่วมกัน) ต่อเนื่อง
- $$\left\|X^x-X^y\right\|_t^\ast\le e^{c_1t}\left\|x-y\right\|_E\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\text{ and }x,y\in E\tag{14}.$$
ตอนนี้ให้ $x\in E$. ฉันอ้างว่า$$\frac{\left\|X^{x+h}-X^x-Y^xh\right\|_\tau^\ast}{\left\|h\right\|_E}\xrightarrow{h\to0}0\tag{15}.$$
ปล่อย $\varepsilon>0$. ตั้งแต่$(13)$ เป็นไปอย่างต่อเนื่อง $$K:=\left\{\left(t,X^y(t)\right):(t,y)\in[0,\tau]\times\overline B_\varepsilon(x)\right\}$$มีขนาดกะทัดรัด ปล่อย$$\omega(\delta):=\sup_{\substack{(t,\:y_1),\:(t,\:y_2)\:\in\:K\\\left\|y_1-y_2\right\|_E\:<\:\delta}}\left\|{\rm D}_2v(t,y_1)-{\rm D}_2v(t,y_2)\right\|_{\mathfrak L(E)}\;\;\;\text{for }\delta>0.$$ โปรดทราบว่า $\omega$ไม่ลดลง ตั้งแต่${\rm D}_2v$ เป็น (ร่วมกัน) ต่อเนื่องมันต่อเนื่องสม่ำเสมอบน $K$ และด้วยเหตุนี้ $$\omega(\delta)\xrightarrow{\delta\to0+}0\tag{16}.$$ ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส $$v(t,y_2)-v(t,y_1)=\int_0^1{\rm D}_2v\left(t,y_1+r(y_2-y_1)\right)(y_2-y_1)\:{\rm d}r\tag{17}$$ สำหรับทุกอย่าง $t\in[0,\tau]$ และ $y_1,y_2\in E$และด้วยเหตุนี้\ start {สมการ} \ begin {split} & \ left \ | v (t, y_2) -v (t, y_1) - {\ rm D} _2v (t, y_1) (y_2-y_1) \ right \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ left \ | y_1-y_2 \ right \ | _E \ int_0 ^ 1 \ ซ้าย \ | {\ rm D} _2v (t, y_1 + r (y_2-y_1)) - {\ rm D} _2v (t, y_1) \ right \ | _ {\ mathfrak L (E)} {\ rm d} r \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ left \ | y_1-y_2 \ right \ | _E \ omega \ left (\ left \ | y_1-y_2 \ right \ | _E \ right) \ end {split} \ tag {18} \ end {equation}สำหรับทั้งหมด$t\in[0,\tau]$ และ $y_1,y_2\in E$ ด้วย $$(t,y_1+r(y_2-y_1))\in K\;\;\;\text{for all }r\in[0,1)\tag{19}.$$ ตอนนี้ให้ $h\in B_\varepsilon(x)\setminus\{0\}$และ\ begin {สมการ} \ begin {split} Z (t) &: = X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) -Y ^ x (t) h \\ & = \ int_0 ^ ทีวี \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right) - {\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \: {\ rm d} s \ end {split} \ tag {20} \ end {equation}สำหรับ$t\in[0,\tau]$. สังเกตว่า$^1$ $$\left(t,X^x(t)+r\left(X^{x+h}(t)-X^x(t)\right)\right)\in K\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\text{ and }r\in[0,1)\tag{21}$$และด้วยเหตุนี้\ begin {สมการ} \ begin {split} & \ left \ | v \ left (t, X ^ {x + h} (t) \ right) -v \ left (t, X ^ x (t) \ ขวา) - {\ rm D} _2v \ left (t, X ^ x (t) \ right) \ left (X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) \ right) \ right \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ left \ | X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t ) \ right \ | _E \ โอเมก้า \ ซ้าย (\ left \ | X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) \ right \ | _E \ right) \\ & \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E \ omega \ left (e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E \ right) \ end {split} \ tag {24} \ end {equation}โดย$(18)$ และ $(14)$ สำหรับทุกอย่าง $t\in[0,\tau]$. ปล่อย$$a:=e^{c_1\tau}\omega\left(e^{c_1\tau}\left\|h\right\|_E\right).$$ โดย $(6)$ และ $(24)$, \ begin {สมการ} \ begin {split} & \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right ) - {\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \ right \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; e ^ {c_1s} \ left \ | h \ right \ | _E \ omega \ left (e ^ {c_1s} \ left \ | h \ right \ | _E \ right) + c_x \ left \ | Z \ right \ | _s ^ \ ast \ le a \ left \ | h \ right \ | _E + c_x + \ left \ | Z \ right \ | _s ^ \ ast \ end {split} \ tag { 25} \ end {สมการ}สำหรับทุกคน$s\in[0,\tau]$และด้วยเหตุนี้\ begin {สมการ} \ begin {split} \ left \ | Z \ right \ | _t ^ \ ast & \ le \ int_0t ^ t \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s ) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right) - {\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \ right \ | _E {\ rm d} s \\ & \ le a \ left \ | h \ right \ | _Et + c_x \ int_0 ^ t \ left \ | Z \ right \ | _s ^ \ ast {\ rm d} s \ end {split} \ tag {26} \ end {equation}สำหรับทุกคน$t\in[0,\tau]$. ดังนั้นโดยความไม่เท่าเทียมกันของ Gronwall$$\left\|Z\right\|_t^\ast\le a\left\|h\right\|_Ete^{c_xt}\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag{27}$$ และด้วยเหตุนี้ $$\frac{\left\|Z\right\|_\tau^\ast}{\left\|h\right\|_E}\le a\tau e^{c_x\tau}\xrightarrow{h\to0}0\tag{28}.$$
นี่เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์และเราได้แสดงแผนที่นั้น $$E\to C^0([0,\tau],E)\;,\;\;\;x\mapsto X^x$$ Fréchetแตกต่างกันที่ $x$ ด้วยอนุพันธ์เท่ากับ $Y^x$ สำหรับทุกอย่าง $x\in E$.
$^1$ ปล่อย $t\in[0,\tau]$, $r\in[0,1)$, $$z:=(1-r)X^x(t)+rX^{x+h}(t)$$ และ $$y:=T_t^{-1}(z).$$ โดยการก่อสร้าง $$X^y(t)=z\tag{22}$$ และด้วยเหตุนี้ $$(t,z)\in K\Leftrightarrow y\in\overline B_\varepsilon(x).$$ โดย $(12)$ และ $(14)$, $$\left\|x-y\right\|_E=\left\|T_t^{-1}(T_t(x))-T_t^{-1}(z)\right\|_E\le e^{c_1t}\left\|T_t(x)-z\right\|_E\le e^{2c_1t}\left\|h\right\|_E\tag{23}.$$ ตั้งแต่ $\left\|h\right\|_E<\varepsilon$ และ $e^{2c_1t}\le 1$เราได้รับ $\left\|x-y\right\|_E<\varepsilon$ และด้วยเหตุนี้ $y\in\overline B_\varepsilon(x)$.