การแก้การเรียกซ้ำโดยการเปรียบเทียบกับสมการเชิงอนุพันธ์
ฉันเจอปัญหานี้:
ให้ลำดับ $u_n$ กำหนดโดยเทอมแรก $u_0 > 0$ และ $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ ค้นหาสูตร asymptotic สำหรับ $u_n$.
ฉันคิดว่าเราแก้ได้โดยการเปรียบเทียบกับสมการ $$f' = \frac{1}{f}$$ ซึ่งให้สูตร asymptotic $u_n \sim \sqrt{2 n}$และนี่คือคำตอบที่ถูกต้อง
โดยทั่วไปแล้วเราใช้เวลา $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$เงื่อนไขของฟังก์ชันต่อเนื่องบวกลดลงคืออะไร $f$ ดังนั้นวิธีการเปรียบเทียบกับสมการเชิงอนุพันธ์จะให้สูตร asymptotic ที่ถูกต้อง
ขอบคุณมาก !
คำตอบ
ตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นด้านล่างคำตอบนี้ไม่ถูกต้อง
สมมติว่า $y$ เป็นคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ $y' = f(y)$และ $u_n$ แก้การกลับเป็นซ้ำ $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ ด้วย $u_0 = y(0)$. ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเราพบว่าสำหรับทุกคน$n$มี $c \in [n,n+1]$ ซึ่ง $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ เพราะ $f$ กำลังลดลงเรามี $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ ตอนนี้สมมติว่า $w_n$ พอใจ $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$และ $w_0 = y(1)$. เราพบโดยอุปนัยว่า$u_n \leq y(n) \leq w_n$. โดยเฉพาะเราว่าถ้าอสมการมีค่า$n = k$แล้ว $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ และความไม่เท่าเทียมกัน $y(k+1) \geq u_{k+1}$ สามารถมองเห็นได้ในทำนองเดียวกัน
ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: if $f$ นั่นคือการกลับเป็นซ้ำ $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ มี asymptotics เหมือนกันสำหรับทุกคน $u_0 > 0$จากนั้นจึงเป็นไปตามที่แสดงอาการของลำดับ $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ สร้างขึ้นจากโซลูชันไปยัง $y' = f(y)$ ด้วย $y(0) > 0$ เหมือนกัน.