การแก้ระบบคู่ของ ODE เชิงเส้น (ลำดับหนึ่งวินาทีและลำดับแรกอื่น ๆ )
ฉันมี ODE สองคู่สำหรับ $T(x)$ และ $t(x)$:
$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$
$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$
$\alpha, \beta$ และ $K$ คือค่าคงที่ $>0$. นอกจากนี้ยังเป็นที่ทราบกันดีว่า$t(x=0)=t_i$. นอกจากนี้สำหรับ$(1)$ พวกเรารู้:
$$\frac{d T(x=0)}{d x}=\frac{d T(x=L)}{d x} = 0$$
ฉันต้องกำหนด $T(x)$ และ $t(x)$. ใครสามารถแนะนำวิธีการก้าวไปข้างหน้ากับปัญหานี้?
อาจเป็นไปได้ว่าระบบสมการคู่นี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์ แต่ฉันไม่รู้ โดยปกติฉันจะแก้สมการเดี่ยวโดยใช้วิธีการรวมตัวประกอบหรือใช้สมการลักษณะเฉพาะและหาราก
คำตอบ
$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$
$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$
คำแนะนำ:
จาก $(2) \qquad T=\frac{1}{\alpha}\frac{d t}{dx}+t$
$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}$
ใส่ลงไป $(1)$ :
$\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t}{dx} +K=0$
$$\frac{d^3t}{dx^3}+\alpha\frac{d^2t}{dx^2}-\beta\frac{d t}{dx} +\alpha K=0$$นี่คือ ODE เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ฉันคิดว่าคุณสามารถนำมันจากที่นี่
คำแนะนำ:
ทดแทน $T(x)=\frac{1}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx}+t(x)$ ใน $(1)$ :
$$ \frac{1}{\alpha}\frac{d^3t(x)}{dx^3}+\frac{d^2t(x)}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx} +K = 0$$
แล้วแก้สำหรับ $\frac{dt(x)}{dx}$.