การแก้ระบบคู่ของ ODE เชิงเส้น (ลำดับหนึ่งวินาทีและลำดับแรกอื่น ๆ )

Aug 20 2020

ฉันมี ODE สองคู่สำหรับ $T(x)$ และ $t(x)$:

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

$\alpha, \beta$ และ $K$ คือค่าคงที่ $>0$. นอกจากนี้ยังเป็นที่ทราบกันดีว่า$t(x=0)=t_i$. นอกจากนี้สำหรับ$(1)$ พวกเรารู้:

$$\frac{d T(x=0)}{d x}=\frac{d T(x=L)}{d x} = 0$$

ฉันต้องกำหนด $T(x)$ และ $t(x)$. ใครสามารถแนะนำวิธีการก้าวไปข้างหน้ากับปัญหานี้?

อาจเป็นไปได้ว่าระบบสมการคู่นี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์ แต่ฉันไม่รู้ โดยปกติฉันจะแก้สมการเดี่ยวโดยใช้วิธีการรวมตัวประกอบหรือใช้สมการลักษณะเฉพาะและหาราก

คำตอบ

6 JJacquelin Aug 20 2020 at 07:16

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

คำแนะนำ:

จาก $(2) \qquad T=\frac{1}{\alpha}\frac{d t}{dx}+t$

$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}$

ใส่ลงไป $(1)$ :

$\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t}{dx} +K=0$

$$\frac{d^3t}{dx^3}+\alpha\frac{d^2t}{dx^2}-\beta\frac{d t}{dx} +\alpha K=0$$นี่คือ ODE เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ฉันคิดว่าคุณสามารถนำมันจากที่นี่

3 Tortar Aug 20 2020 at 07:14

คำแนะนำ:

ทดแทน $T(x)=\frac{1}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx}+t(x)$ ใน $(1)$ :

$$ \frac{1}{\alpha}\frac{d^3t(x)}{dx^3}+\frac{d^2t(x)}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx} +K = 0$$

แล้วแก้สำหรับ $\frac{dt(x)}{dx}$.