การกำหนดเขตข้อมูลโดยทั่วไปเป็นมากกว่าสองการดำเนินการ: คำจำกัดความเหล่านี้เทียบเท่าหรือไม่
ดูคำถามก่อนหน้า"เขตข้อมูลทั่วไป" ที่มีการดำเนินการสามรายการเป็นอนันต์ได้หรือไม่?
เรามีชุด $S$และ $n$ การดำเนินงาน $\times_0,\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1}$ บน $S$. การดำเนินการแต่ละครั้ง$\times_k$ เป็นสับเปลี่ยนเชื่อมโยงมีตัวตน $e_k\in S$และกระจายมากกว่าการดำเนินการก่อนหน้านี้ $\times_{k-1}$. นอกจากนี้อัตลักษณ์ยังแตกต่างกันทั้งหมด แสดงว่า$S_k=S\setminus\{e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{k-1}\}$ (เข้าใจว่า $S_0=S$ฯลฯ ). โครงสร้างทั้งหมดเรียกว่า$n$- ฟิลด์หากมีคุณสมบัติเพิ่มเติมบางประการ
จากคุณสมบัติข้างต้น (บางชุด) คุณสมบัติเพิ่มเติมต่อไปนี้เทียบเท่าหรือไม่?
$(1)$ แต่ละ $\times_k$ กลับไม่ได้ในแง่ที่ว่าสำหรับใด ๆ $a\in S_k$, มีอยู่ $b\in S$ ดังนั้น $a\times_kb=e_k$.
$(2)$ แต่ละ $\times_k$ กลับไม่ได้ในแง่ที่ว่าสำหรับใด ๆ $a\in S_k$, มีอยู่ $b\in S_k$ ดังนั้น $a\times_kb=e_k$.
$(3)$เอกลักษณ์แต่ละตัวเป็นโมฆะเมื่อเทียบกับการดำเนินการที่สูงขึ้น สำหรับใด ๆ$k<l$ และใด ๆ $a\in S_k$, $e_k\times_la=e_k$.
$(4)$ โครงสร้างทั้งสองแบบวนซ้ำ $(S_0,\times_0,\times_1,\cdots,\times_{n-2},e_0,e_1,\cdots,e_{n-2})$ และ $(S_1,\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1},e_1,e_2,\cdots,e_{n-1})$ คือ $(n-1)$- เขตข้อมูล (และก$1$- ฟิลด์คือกลุ่มอาเบเลียน)
$(5)$ ทั้งหมด $(n-1)$ ของโครงสร้าง $(S_k,\times_k,\times_{k+1},e_k,e_{k+1})$เป็นเขตข้อมูล (หรือถ้า$n=1$ โครงสร้างเป็นกลุ่มอาเบเลียน)
อย่างชัดเจน $(2)$ หมายถึง $(1)$และ $(1)$ และ $(3)$ ร่วมกันหมายความว่า $(2)$. ตามหลักการแล้วฉันต้องการ$(1)$ คนเดียวเพื่อบอกเป็นนัยว่าคนอื่น ๆ ทั้งหมด
เพื่อพิสูจน์ $(4)$ สำหรับโครงสร้างที่สอง (โครงสร้างแรกเป็นเรื่องง่าย) เราจำเป็นต้องแสดงให้เห็นเท่านั้น $S_1$ ปิดอยู่ภายใต้ $\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1}$; นั่นคือถ้า$a\neq e_0\neq b$แล้ว $a\times_kb\neq e_0$. แต่สิ่งนี้ตามมาจาก$(3)$ และการกลับหัว
คำถามที่เชื่อมโยงของฉันพิสูจน์ได้ว่า $(1)$ หมายถึงคนอื่น ๆ ในกรณีนี้ $n=3$และแสดงว่าไม่ $n$- มีฟิลด์สำหรับ $n>4$ โดยมีเงื่อนไขว่าเป็นจริงสำหรับ $n=4$. ดังนั้นเรามามุ่งเน้นไปที่$4$- เขตข้อมูลและถือว่าทรัพย์สิน $(1)$.
เรารู้ว่าโครงสร้างย่อย $(S_0,\times_0,\times_1,\times_2,e_0,e_1,e_2)$ คือ $3$- ฟิลด์ซึ่งหมายถึงสำหรับทุกคน $a\in S$,
$$e_0\times_0a=e_1\times_1a=e_2\times_2a=a,$$
$$e_0\times_1a=e_0\times_2a=e_0,$$
$$a\neq e_0\implies e_1\times_2a=e_1.$$
สองบรรทัดสุดท้ายคือคุณสมบัติ $(3)$สำหรับโครงสร้างย่อยนี้ ทำให้สำเร็จ$(3)$เราต้องพิจารณาการดำเนินการขั้นสุดท้าย $\times_3$:
$$e_0\times_3a\overset?=e_0,$$
$$a\neq e_0\overset?\implies e_1\times_3a=e_1,$$
$$e_0\neq a\neq e_1\overset?\implies e_2\times_3a=e_2.$$
สำหรับข้อสุดท้ายการกำหนด $x=e_2\times_3a$ และใช้กฎพีชคณิตที่กำหนด
$$e_2\times_3a=(e_2\times_2e_2)\times_3a=(e_2\times_3a)\times_2(e_2\times_3a),$$
เราเห็นว่า $x=x\times_2x$เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของตัวเอง ถ้า$x\in S_2$ (หมายความว่าไม่ใช่ $e_0$ หรือ $e_1$) แล้วก็ $\times_2$-invertible และการหารให้ $e_2=x$. ถ้าแทน$x=e_0$ หรือ $e_1$แล้ว
$$a=a\times_3e_3=a\times_3(e_3\times_2e_2)=(a\times_3e_3)\times_2(a\times_3e_2)=a\times_2x,$$
ดังนั้นเราจึงได้รับ $a=a\times_2e_0=e_0$, หรือ $a=a\times_2e_1=e_1$ความขัดแย้ง ดังนั้น$x=e_2\times_3a=e_2$.
ในความเป็นจริงเราสามารถพิสูจน์ได้ $(2)$ จาก $(1)$อย่างน้อยก็ในกรณีนี้ $n=4$. เรารู้เรื่องนั้นแล้ว$\times_0,\times_1,\times_2$ จะกลับด้านบนช่องว่างตามลำดับ $S_0,S_1,S_2$. ยังคงต้องพิจารณา$a\in S_3$: คือ $\times_3$- ตรงกันข้าม $b$ ยังอยู่ใน $S_3$เหรอ? สมมติว่าขัดแย้งกัน$b=e_0$, $e_1$, หรือ $e_2$. จากนั้นจากคุณสมบัติที่ทราบของ$3$- ทุ่ง $b=b\times_2b$และด้วยเหตุนี้
$$e_3=a\times_3b=a\times_3(b\times_2b)=(a\times_3b)\times_2(a\times_3b)=e_3\times_2e_3;$$
แต่ $e_3\in S_2$กลับไม่ได้; หารให้$e_2=e_3$ความขัดแย้ง ดังนั้นเราต้องมี$b\in S_3$.
คำตอบ
จากการอภิปรายในตอนท้ายของคำถามที่เชื่อมโยงนั้น $\times_1\times_2$ โครงสร้างต้องเป็นเขตข้อมูลที่ไม่มีลักษณะเฉพาะ $2$; นั่นคือ,$e_2\times_1e_2\neq e_1$. ดังนั้น$\times_1$- ตรงกันข้ามของ $e_2$ (ขอเรียกว่า $x$) ไม่ใช่ $e_2$ตัวเอง นอกจากนี้
$$e_2\times_1x=e_1,$$
$$e_2\times_1e_1=e_2\neq e_1,\quad e_2\times_1e_0=e_0\neq e_1,$$
ซึ่งแสดงให้เห็นว่า $x$ ไม่ใช่ $e_1$ หรือ $e_0$. สิ่งนี้ทำให้เรามี$x\in S_3$.
ตั้งแต่ $(-1)\cdot(-1)=1$ ในทุกสาขาเรามี $x\times_2x=e_2$:
$$e_2=x\times_2x=(x\times_3e_3)\times_2(x\times_3e_3)=x\times_3(e_3\times_2e_3).$$
ปล่อย $y$ เป็น $\times_3$- ตรงกันข้ามของ $x$. มันแสดงใน OP ว่า$y$ ต้องอยู่ใน $S_3$ (ซึ่งเป็นส่วนย่อยของ $S_2$) และอะไรก็ได้ใน $S_2$ ถูกดูดซึมโดย $e_2\times_3y=e_2$. การคูณสมการข้างต้นด้วย$y$เราพบว่า
$$e_2\times_3y=x\times_3y\times_3(e_3\times_2e_3)=e_3\times_3(e_3\times_2e_3)$$
$$e_2=e_3\times_2e_3.$$
ตอนนี้พิจารณาองค์ประกอบโดยพลการ $a\in S_2$:
$$a\times_2a=(a\times_3e_3)\times_2(a\times_3e_3)=a\times_3(e_3\times_2e_3)=a\times_3e_2=e_2.$$
ในฟิลด์ใด ๆ สมการ $a\cdot a=1$ มีเพียงสองวิธีเท่านั้น $a=\pm1$; นั่นคือ,$a=e_2$ หรือ $a=x$. ดังนั้น,$S$ ต้องมีอย่างแน่นอน $4$องค์ประกอบ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$x=y=e_3$.)
ตั้งแต่ใด $n$- ฟิลด์ยังเป็นไฟล์ $k$- ฟิลด์ใด ๆ $k<n$ (เพียงละเว้นการดำเนินการ $\times_k,\cdots,\times_{n-1}$) ก็เป็นไปตามนั้นไม่มี $n$- ฟิลด์สำหรับ $n>4$.
แต่มีเรื่องแปลกใจในกรณีนี้ $n=|S|=4$: โครงสร้างไม่ซ้ำใครและในความเป็นจริง $(1)$ ไม่ได้หมายความว่า $(3),(4),(5)$.
$$\begin{array}{c|cccc}\times_0&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_1&e_1&e_0&e_3&e_2\\e_2&e_2&e_3&e_0&e_1\\e_3&e_3&e_2&e_1&e_0\end{array}\qquad\begin{array}{c|cccc}\times_1&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_2&e_0&e_2&e_3&e_1\\e_3&e_0&e_3&e_1&e_2\end{array}$$
$$\begin{array}{c|cccc}\times_2&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&e_1&e_1&e_1\\e_2&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_3&e_0&e_1&e_3&e_2\end{array}\qquad\begin{array}{c|cccc}\times_3&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&\mathbf{e_0}&e_1&e_1\\e_2&e_0&e_1&e_2&e_2\\e_3&e_0&e_1&e_2&e_3\end{array}$$