การประมาณการแปลงฟูเรียร์
สมมติว่าการแปลงฟูเรียร์ $\hat{f}(k)$ (ด้วย $k \in \mathbb{R}^d$) ได้รับและมีคนตั้งใจที่จะได้รับข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับตำแหน่ง - พื้นที่คู่กัน $f(x)$. เมื่อการคำนวณเชิงวิเคราะห์ของการแปลงฟูเรียร์ผกผันของ$\hat{f}(k)$ เป็นไปไม่ได้เราอาจยังคงสามารถดึงข้อมูลที่เป็นประโยชน์ได้โดยเชี่ยวชาญเฉพาะภูมิภาคของ $k$พื้นที่; ตัวอย่างเช่นในฟิสิกส์เชิงสถิติมักจะเป็นเรื่องปกติที่จะต้องศึกษาคุณสมบัติ "มหภาค" ของเช่นฟังก์ชันสหสัมพันธ์โดยการตรวจสอบ$k\to 0$ขีด จำกัด ของการแปลงฟูเรียร์ สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่ากระบวนการดังกล่าวค่อนข้างคล้ายคลึงกับการดูอนุกรมของการแปลงฟูเรียร์ของเทย์เลอร์กล่าวคือ\ begin {สมการ} \ hat {f} (k) = \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + k \ partial_k \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + \ ldots \ end {สมการ}ถ้าชุดหนึ่งตัดอนุกรมนี้แล้วพยายามดำเนินการกับการแปลงฟูเรียร์ผกผัน$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ ในบางกรณีอาจพบว่าผลลัพธ์แตกต่างกันเป็น $k\to\infty$. อย่างไรก็ตามในหลาย ๆ ทฤษฎีและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีภาคสนามมีจุดตัดด้านบนสำหรับ$k$ซึ่งกำหนดช่วงของความถูกต้องของทฤษฎีนั้น การตัดดังกล่าวมักจะแก้ไขความแตกต่างที่เป็นไปได้ของการแปลงฟูเรียร์ผกผัน
คำถามฟังก์ชันพื้นที่ตำแหน่งที่ได้รับจากการแปลงผกผันของอนุกรมเทย์เลอร์ที่ถูกตัดทอน$\hat{f}_{\rm trunc}$ด้วยการตัดบางส่วน $\Lambda$, ใกล้เคียงกับฟังก์ชั่นเดิม$f(x)$ในแง่ใด? มิฉะนั้นจะมีวิธีที่เป็นระบบในการได้รับรูปแบบโดยประมาณจากการแปลงฟูริเยร์$\hat{f}(k)$เหรอ?
คำตอบ
เมื่อคุณตัดส่วนขยายเทย์เลอร์ไปรอบ ๆ $0$คุณกำลังบอกว่าคุณสนใจโหมดที่มีความยาวคลื่นยาว โหมดเหล่านี้มักเป็นโหมดที่มีอายุการใช้งานยาวนานดังนั้นนาน ๆ ครั้งพวกเขาจะอธิบายระบบของคุณโดยประมาณ ในทางจิตวิญญาณก็เหมือนกับการทำเม็ดหยาบ: คุณลืมเกี่ยวกับพลวัตของกล้องจุลทรรศน์ที่รวดเร็วและเก็บไว้เฉพาะข้อมูลระดับมหภาคเท่านั้น ในแง่ที่เข้มงวดมากขึ้นก็มี$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$ดังนั้นหากการประมาณของการแปลงฟูเรียร์ของคุณดีในรูป $L^2$ ดังนั้นมันจะเป็นค่าประมาณของพื้นที่ตำแหน่ง $f(x)$.