การเร่งความเร็วในพิกัด Rindler

Aug 17 2020

คุณช่วยชี้ให้เห็นข้อบกพร่องพื้นฐานในการให้เหตุผลต่อไปนี้ได้หรือไม่?

ฉันใช้ Minkowski $x^\mu$ และพิกัด Rindler $\xi^\mu$

$$ x^\mu = (t,x) $$

$$ \xi^\mu = (\eta, \rho) $$

$$ x^\mu(\xi) = \rho \, (\sinh\eta, \cosh\eta) $$

$$ (x^1)^2 - (x^0)^2) = \rho^2; \qquad \frac{x^0}{x^1} = \tanh\eta $$

$$ ds^2 = -dt^2 + dx^2 = -\rho^2 \, d\eta^2 + d\rho^2 $$

และเส้นโลกความเร็ว 2 ความเร็วและความเร่ง 2 ระดับ

$$ x^\mu(\tau) = a^{-1} \; (\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

$$ \dot{x}^\mu(\tau) = (\cosh a\tau, \sinh a\tau) $$

$$ \ddot{x}^\mu(\tau) = a \,(\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

ด้วย

$$ \ddot{x}_\mu \ddot{x}^\mu = a^2 $$

ละเอียด.

การแปลงพิกัดโลกนี้เป็นพิกัด Rindler ส่งผลให้

$$ \xi^\mu(\tau) = (a\tau, a^{-1}) $$

$$ \dot{\xi}^\mu(\tau) = (a, 0) $$

ดังนั้น - ตามที่คาดไว้ - เส้นโลกนี้ "ตั้งอยู่" ที่ $ \xi^1(\tau) = \text{const.} $

อย่างไรก็ตาม

$$ \ddot{\xi}^\mu(\tau) = 0 \quad \implies \quad \ddot{\xi}_\mu \ddot{\xi}^\mu = 0 $$

ความเร่งหายไปไหน?

คำตอบ

2 TomS Aug 17 2020 at 16:07

โอเคฉันต้องตาบอด

ในพื้นที่ราบ แต่พิกัดโค้งต้องคำนวณความเร่งโดยใช้

$$ a^\mu = \ddot{\xi}^\mu + \Gamma^\mu_{\kappa\lambda} \dot{\xi}^\kappa \dot{\xi}^\lambda $$

ซึ่งใช้งานได้ดี

ขอบคุณสำหรับคำแนะนำ!