การรวมแรงบิดสำหรับวงปัจจุบันแบบวงกลมในสนามแม่เหล็ก [ปิด]
ฉันพยายามหาสูตรสำหรับแรงบิดบนวงกระแสวงกลมภายในสนามแม่เหล็ก ฉันรู้ว่าสูตรคือ:
$\tau = IAB\sin{\theta}$
ที่ฉันอยู่ปัจจุบัน B คือสนามแม่เหล็กและ A คือพื้นที่
ความพยายามของฉันจนถึงตอนนี้:
$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$
ตอนนี้ถ้าสูตรสำหรับ Torque คือ: $\tau=bF\sin{\theta}$และ $b = r\sin{\alpha}$แล้ว
$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$
ท้ายที่สุดแล้วถ้าฉันใช้อินทิกรัลของสมการสุดท้ายนี้ฉันไม่เข้าใจวิธีการอินทิกรัล $\sin{\alpha}^2\,ds$.
ฉันเดาว่าความเข้าใจผิดพื้นฐานของฉันอยู่ที่นี่: ฉันบอกได้ว่าอินทิกรัลของอะไร $d\vec{s}\times \vec{B}$จะเป็นเพราะฉันรู้เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม อย่างไรก็ตามฉันคิดว่าไม่มีทางที่จะแสดงออก$\sin{\alpha}$ ด้วยความเคารพ $ds$.
ฉันเข้าใจผิดหรือเปล่า ขอขอบคุณ
คำตอบ
คุณไม่ได้ใช้สัญกรณ์เวกเตอร์จึงดูเหมือนจะแย่มาก นอกจากนี้คุณเคยใช้$M$ สำหรับแรงบิด (ควรเป็น $\tau$) แทนที่จะเป็นโมเมนต์แม่เหล็ก (ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่ยอมรับโดยทั่วไป)
หลักฐาน:
ห่วงวงกลมอยู่ใน $x-y$ เครื่องบินกับ raduis $r$ และศูนย์กลางที่จุดกำเนิด $O$. มันมีกระแสคงที่ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา มีสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ$\vec B$ ชี้นำไปในเชิงบวก $x$-แกน.
พิจารณาองค์ประกอบ $d\vec s$ บนวงแหวนที่มุม $\theta$ การย่อยมุม $d\theta$ที่จุดกำเนิด แรงบิดขององค์ประกอบนี้กำหนดโดย
$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$
หมายเหตุ:ฉันข้ามส่วนการคำนวณไปแล้ว นอกจากนี้คุณยังสามารถใช้$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, ฉันถ่ายอย่างเดียว $x$- ส่วนประกอบเพื่อความเรียบง่าย ผลลัพธ์จะกลับมาเหมือนเดิม เช่นเดียวกับรูปร่างของตัวนำไม่สำคัญว่าสี่เหลี่ยมหรือวงกลม
ฉันแก้ไขสิ่งนี้โดยตระหนักว่า ds เป็นจริง $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ ตามสูตรคอร์ดความยาว
ในระยะสั้นโดยการเขียนจริง $d\vec{s}\times \vec{B}$ ในแง่ของ $\alpha$.