การรองรับส่วนขยาย Kummer โดยไม่มีรากฐานของความสามัคคี (Serge Lang)

Jan 07 2021

ฉันกำลังพยายามแก้ปัญหาต่อไปนี้

ปล่อย $k$ เป็นเขตข้อมูลลักษณะเฉพาะ $0$. สมมติว่าสำหรับส่วนขยายที่ จำกัด แต่ละรายการ$E$ ของ $k$, ดัชนี $(E^* : E^{*n})$จำกัด สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n แสดงว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกแต่ละจำนวน$n$มีนามสกุล abelian จำนวน จำกัด เท่านั้น $k$ ระดับ $n$.

ถ้า $k$ มีรากที่ n-th ดั้งเดิมของความสามัคคีหนึ่งสามารถใช้การโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งของการขยายอาเบเลียนของ $k$ ของเลขชี้กำลัง n และกลุ่มย่อยของ $k^*$ ที่มีพาวเวอร์ n-th ขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $k$. สำหรับหนึ่งกรณีนี้ในวิธีที่จะแก้ปัญหาเป็นในคำตอบของบทความนี้: ค้นหา bijection ระหว่างฟิลด์ Kummer และ Galois กลุ่มย่อย

แต่สำหรับ $k$ ไม่ได้ประกอบด้วยรากที่ n ของเอกภาพเรามีการติดต่อกันระหว่างกล่าวว่าส่วนขยาย abelian ของ $k$ ของเลขชี้กำลังม. และส่วนขยายเอเบเลียนของ $k(\zeta)$ ของเลขชี้กำลัง n ที่ไหน $\zeta$ รากที่ n ของความสามัคคีดั้งเดิมคืออะไร?

ฉันสังเกตเห็นว่านามสกุล abelian ของ $k$ ของเลขชี้กำลัง n มีระดับการขยายไม่เกินระดับส่วนขยายที่สูงกว่า $k(\zeta)$ ของส่วนขยาย abelian ของ $k(\zeta)$ ของเลขชี้กำลัง n ที่สร้างโดยเซตเดียวกันคูณด้วย $\varphi(n)$, เพราะอะไร $\varphi(n)$ หมายถึงฟังก์ชันออยเลอร์

ข้อสังเกตอีกประการหนึ่ง: สมมติ $k$ไม่มีรากที่ n ของเอกภาพ ให้ H เป็นกลุ่มย่อยของ$k^*$ ที่มีพาวเวอร์ n-th ขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $k$แล้ว $H$ และ $\zeta^j$ ร่วมกันสร้างกลุ่มย่อยของ $k(\zeta)^*$ ที่มีพาวเวอร์ n-th ขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $k(\zeta)$.

คำตอบ

1 J.P.Gimori Jan 09 2021 at 03:56

ปล่อย $L/k$ เป็นองค์ประกอบของส่วนขยายของระดับเอเบลที่มากที่สุด $n$ เกิน $k(\zeta_n)$. ตั้งแต่$k$ มีลักษณะเป็นศูนย์ $L/k$แยกออกจากกันได้ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา$k(\zeta_n)$ มีทั้งหมด $n$รากของความสามัคคีคุณรู้อยู่แล้ว $L/k$จำกัด ถ้า$E/k$ คือการขยายระดับของ Abelian $\leq n$แล้ว $E(\zeta_n)$ เป็นส่วนขยายของภาษาอาเบเลียน $k(\zeta_n)$ ระดับ $\leq n$ดังนั้น $E\subset E(\zeta_n) \subset L$. ตั้งแต่$L/k$แยกออกจากกันได้มีส่วนขยายย่อยที่ละเอียดที่สุดจำนวนมาก ดังนั้นชุดที่เป็นไปได้$E$ จำกัด