การแสดงการลู่เข้าของอนุกรมที่กำหนดให้มีการลู่เข้าของลำดับ
ฉันกำลังแก้ไขปัญหาที่ขอให้ฉันแสดงสิ่งต่อไปนี้: ให้ลำดับของจำนวนจริง $(x_n), n=0,1,2,...$ ดังนั้น $x_n \rightarrow x$แสดงว่า $$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$ แนวทางของฉันคือพยายามพิสูจน์สิ่งนี้ในลักษณะคล้ายกับวิธีที่เราพิสูจน์สูตรอนุกรมเรขาคณิต (ซึ่งจะง่ายถ้า $(x_n)$เป็นลำดับคงที่) ดังนั้นเมื่อดูผลรวมบางส่วนของชุดด้านบนเราจะเห็นว่า:$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$ จากตรงนี้ฉันปล่อยให้ไม่ได้เลย $p\rightarrow 1^{-}$มิฉะนั้นทุกอย่างจะยกเลิก ดังนั้นฉันต้องการใช้ความจริงที่ว่า$x_n$ มาบรรจบกับ $x$และฉันสงสัยว่าฉันจะต้องใช้ความจริงที่ว่าตั้งแต่นั้นมา $x_n \rightarrow x$, $(x_m - x_{m-1})$ เป็นไปตามเงื่อนไข $0$ สำหรับขนาดใหญ่ $m$. อย่างไรก็ตามฉันยังไม่ทราบวิธีจัดการกับเงื่อนไขเริ่มต้นในผลรวมที่$(x_m - x_{m-1})$ ข้อกำหนดไม่สำคัญ
คำตอบ
$\epsilon>0$:
เราต้องการแสดงให้เห็นว่ามีไฟล์ $\delta$ ซึ่งถ้า $p\in\left(1-\delta,1\right)$ แล้ว $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. เรารู้ว่า x_n แปลงเป็น x ดังนั้นจึงมี N เช่นนั้นสำหรับ n ทั้งหมดที่เรามี:$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. เรารู้ด้วยว่า:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. มาดูส่วนที่สองกัน:$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$
ดังนั้นเราจึงมี: $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$
แต่สำหรับ p ที่ใกล้พอกับ 1 ส่วนแรกจะไปที่ศูนย์และส่วนที่สองจะไปที่ x ลบ epsilon ดังนั้นคุณสามารถแสดงขอบเขตล่างที่คุณต้องการสำหรับเดลต้าที่ถูกต้อง ขอบเขตบนสามารถแสดงได้ในลักษณะที่คล้ายกันมาก
ฉันหวังว่านี่เป็นเรื่องที่เข้าใจได้