เกี่ยวกับขีด จำกัด : ต้องมีคำอธิบายที่ชัดเจน

Question

เรามี, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$

และไม่เป็นไร แต่ฉันไม่ค่อยแน่ใจ $p\in \mathbb{R}$คำถามของฉันคือเป็นเรื่องจริงสำหรับ $p\in \mathbb{R}$เหรอ?

ฉันได้ลองคำนวณค่าของขีด จำกัด นี้ใน Symbolab Online Calculator แล้ว $p =some$ $fraction$ $number$แต่มันแสดงให้เห็น $0$เป็นคำตอบ แนบภาพหน้าจอของกรณีนี้มาด้วย

และ

ใครสามารถให้วิธีการหรือแม้กระทั่งคำใบ้เพื่อพิสูจน์หรือหักล้างตัวเลขดังกล่าวข้างต้นได้หรือไม่?

ขอบคุณล่วงหน้า!

Answer 1

มันเป็นเรื่องจริงสำหรับทุกคน $p> -1$. จริงๆแล้วมันคือผลรวมของ Riemann:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ สำหรับฟังก์ชั่น $f(x)=x^p$มีขอบเขต $0$ และ $1$ดังนั้นมันจึงมาบรรจบกันเป็น $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$

Answer 2

คำแนะนำ

ให้ใช้Stoltz-Cesaroเพื่อรับ

$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$