เกี่ยวกับความวิจิตรของขีด จำกัด ของผลรวม

Question

ปล่อย $U$ เป็นโดเมนใน $\mathbb{C}^n$. ปล่อย$\alpha:U\times U\longrightarrow [0,\infty)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องกับคุณสมบัติที่ $\alpha(z,w)=\alpha(w,z)$ เพื่อทุกสิ่ง $z,w\in U$ และ $\alpha(z,w)\leq \alpha(z,v)+ \alpha(v,z)$ เพื่อทุกสิ่ง $z,w,v\in U$.

เราได้รับเส้นทางที่ราบรื่นเป็นชิ้น ๆ $\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. ที่ไหน$\gamma(a)=z$ และ $\gamma(b)=w$. ใช้พาร์ติชั่น$a=x_0\leq x_1 \leq x_2\cdots\leq x_n=b$. จากนั้นเลือกพาร์ติชันที่ละเอียดกว่าและดีกว่าที่น่าพอใจ$\sup_{1\leq i\leq n} x_i-x_{i-1}=\Delta\longrightarrow 0$.

ตอนนี้กำหนด $L_\alpha(\gamma)=\lim_{\Delta\longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))$.

ว่ากันตามความต่อเนื่องของ $\gamma$, $L_\alpha$ถูกกำหนดไว้อย่างดี ฉันรู้ว่าสำหรับทุกพาร์ติชั่น จำกัด ผลรวมจะ จำกัด แต่ทำไมลิมิตถึง จำกัด ?

Answer 1

ขีด จำกัด สามารถไม่มีที่สิ้นสุดแม้ว่าในขณะที่ $\gamma$คือแผนที่ประจำตัว อันที่จริงให้$n=1$, $U=\{z\in \Bbb C:|z|\le 1\}$และ $\alpha(z,w)=\sqrt{|z-w|}$ เพื่อทุกสิ่ง $z,w\in U$. ปล่อย$a=-1$, $b=1$ และ $\gamma(x)=x$ แต่ละ $x\in [-1,1]$. ให้$n$, แต่ละ $i\in\{0,1,\dots,n\}$ ใส่ $x_i=2i/n-1$. แล้ว$\sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))=\sqrt{2n},$ ซึ่งมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อ $n$ มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด