คำอธิบายการหาที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของลำดับเลขคณิตของ n พจน์แรก
ฉันพยายามทำความเข้าใจที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของลำดับเลขคณิตของลำดับแรก $n$ เงื่อนไข
ฉันไม่เข้าใจว่ากฎหรือเหตุผลใดที่อนุญาตให้เพิ่มสองลำดับในลำดับย้อนกลับเพื่อขจัดความแตกต่างทั่วไป $d$ และได้ข้อสรุปว่าผลรวมของลำดับเลขคณิตของลำดับแรก $n$ เงื่อนไขคือครึ่งหนึ่ง $n$คูณด้วยผลรวมของเทอมแรกและเทอมสุดท้าย นี่ดูเหมือนจะเป็นวิธีที่คิดค้นขึ้นเพื่อขจัดความแตกต่างทั่วไปจากการขยายตัวโดยอาศัยความรู้ที่ไม่สามารถอธิบายได้$d$ และลำดับเลขคณิตโดยทั่วไป
ฉันได้ค้นคว้าคำถามนี้ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์และทางออนไลน์และทุกครั้งที่มีการนำเสนอรากศัพท์ฉันไม่สามารถหาคำอธิบายได้ว่าเหตุใดจึงเป็นที่ประจักษ์แก่นักคณิตศาสตร์ว่าโดยการเพิ่มลำดับพวกเขาจะได้สูตร
พื้นหลัง.
ที่มาของสูตรตามที่อธิบายไว้ในตำราเรียนและเว็บไซต์ออนไลน์มีดังนี้
- เพื่อหาผลรวมของลำดับเลขคณิตสำหรับลำดับแรก $n$ เงื่อนไข $S_n$เราเขียนผลรวมที่สัมพันธ์กับเทอมแรกได้ $a_1$ และความแตกต่างทั่วไป $d$.
$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + ... + a_n $$
- นอกจากนี้ยังสามารถเขียนลำดับในลำดับย้อนกลับที่สัมพันธ์กับคำสุดท้าย $a_n$.
$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + ... + a_1 $$
- เมื่อเรารวมลำดับเหล่านี้เข้าด้วยกันเราจะได้สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต
$$ \begin{array}{r} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \end{array} $$
- เพราะว่ามี $n$ เพิ่มเติมมากมายของ $(a_1 + a_n)$ ผลรวมที่มีความยาวจะทำให้ง่ายขึ้นเป็น $n(a_1 + a_n)$ และการแก้สำหรับ $S_n$ เรามาถึงสูตร
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถหาเหตุผลในคำอธิบายเหล่านี้ได้ว่าเหตุใดจึงมีการเพิ่มสองลำดับ (ลำดับธรรมดาและย้อนกลับ) มันสมเหตุสมผลสำหรับฉันที่พวกเขาถูกเพิ่มเข้ามา แต่ไม่ใช่เพราะเหตุใดนี่จึงเป็นขั้นตอนตรรกะถัดไปเมื่อได้รับสูตร
คำถาม.
เหตุใดจึงมีการเพิ่มสองลำดับเพื่อให้ได้มาซึ่งสูตรและสิ่งที่แสดงเกี่ยวกับธรรมชาติของลำดับเลขคณิต
ในความพยายามที่จะหาสิ่งนี้ฉันสังเกตว่าจากการศึกษาหลาย ๆ ลำดับเราจะเห็นว่าอัตราส่วนของผลรวมของลำดับแรก $n$ เงื่อนไข $S_n$ และผลรวมของเทอมแรกและเทอมสุดท้าย $(a_1 + a_n)$ ตลอดเวลา $\frac{n}{2}$สำหรับลำดับเลขคณิตใด ๆ ดังนั้นอาจกล่าวได้โดยการอุปนัยว่าถ้าลำดับเลขคณิตใด ๆ เป็นจริงว่า:
$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$
จากนั้นก็ต้องเป็นความจริงด้วยว่า:
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
อย่างไรก็ตามสำหรับฉันแล้วสิ่งนี้ยังไม่สามารถอธิบายได้ว่าเหตุใดการหามาจึงตัดสินใจเพิ่มสองลำดับ
คำตอบ
Commutativity ของการเพิ่มช่วยให้คุณกำหนดผลรวมของสองส่วนที่เพิ่มได้ โดยการเหนี่ยวนำจำนวนแอดคุณสามารถขยายจำนวนนี้เป็นจำนวน จำกัด Associativity ช่วยให้คุณสามารถจัดกลุ่มได้ตามที่คุณต้องการ
ลองนึกย้อนไปถึงผลรวมของตัวเลขสามเหลี่ยม ในการบวกเลข n ตัวแรกให้เอาเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายมารวมกันเพื่อให้ได้ n + 1 จากนั้นทำแบบเดียวกันกับตัวที่สองและตัวที่สองเพื่อให้ได้ n + 1 สำหรับภาพของกระบวนการนี้ให้ดูที่https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number. ในคำถามของคุณสามเหลี่ยมของคุณมีความลำเอียงเล็กน้อยและไม่เป็นประเด็น แต่ความคิดยังคงเหมือนเดิม :)